Страницы блога

воскресенье, 10 февраля 2019 г.

В правильной треугольной призме


Рассмотрим подробное решение задачи из предыдущего  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.
Задача. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1  сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На рёбрах АВ и В1С1 отмечены точки К и L соответственно, причём АК=В1L=2. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость 𝜸  параллельна прямой AC и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости 𝜸.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью 𝜸.

Решение. а) Построим сечение призмы АВСА1В1С1  плоскостью 𝜸 Так как плоскость g  параллельна прямой AC и содержит точки К, то грань АВС пересекает 𝜸 по прямой, параллельной АС. Проведем через точку К прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро ВС в точке К1. Аналогично, проведем через точку L прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро А1В1 в точке L1. Соединим точки К и L1, L и К1. В сечении получили трапецию КL1LК1.

Построим плоскость ВВ1М, обозначим точки ее пересечения с прямыми АС, КК1 и LL1 соответственно буквами N, E и F. Четырёхугольник ВВ1М N является прямоугольником, так как призма АВСА1В1С1 – правильная и боковые ребра перпендикулярны основаниям призмы. Найдем сторону ВN, она является высотой и медианой правильного треугольника АВС и по теореме Пифагора ВN2 = АВ2 АN2 = 36-9=27. ВN =3√3.
Рассмотрим треугольники АВС и ВКК1, они подобны (по первому признаку), отсюда ВЕ:ВN = КВ:АВ=2:3. Значит ВЕ=23, ЕN = 3. Аналогично, треугольники А1В1С1 и LL1В1 подобны и В1F=3, MF= 23. Отсюда следует что L1L=2 и КК1=4. Теперь рассмотрим прямоугольник ВВ1МN (смотрите дополнительный чертеж). В прямоугольном треугольнике ВВ1F найдем ВF по теореме Пифагора.  ВF2= В1В2 + В1F2 =9+3=12. ВF = 23. Но треугольник MNE равен треугольнику ВВ1F, значит MNE= ВF = 23. Следовательно MFBE – ромб, а его диагонали BМ и FE перпендикулярны. Прямая АС перпендикулярна плоскости BMN, а прямая КК1 параллельна АС, значит КК1 тоже перпендикулярна плоскости BMN и прямой BМ. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости BМ перпендикулярна плоскости КL1LК1. Что и требовалось доказать.
б) Расстояние от точки М до плоскости КL1LК1 найти теперь легко. МО=MN=3, так как треугольники МОЕ и MNЕ равны. Отсюда и ЕО = NЕ =3. Значит в трапеции КL1LК1 высота  FE =23.  Площадь трапеции КL1LК1 равна (L1L+ КК1)* FE/2=(2+4)* 23/2=63 Тогда объем пирамиды МКL1LК1 равен 3*63/3=6√3.
Ответ: б) 63

Комментариев нет:

Отправить комментарий