В правильной треугольной призме

Рассмотрим подробное решение задачи из предыдущего  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.

Задача. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁  сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно 3. На рёбрах АВ и В₁С₁ отмечены точки К и L соответственно, причём АК=В₁L=2. Точка M — середина ребра A₁C₁. Плоскость 𝜸  параллельна прямой AC и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости 𝜸.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью 𝜸.

Решение. а) Построим сечение призмы АВСА₁В₁С₁  плоскостью 𝜸 Так как плоскость g  параллельна прямой AC и содержит точки К, то грань АВС пересекает 𝜸 по прямой, параллельной АС. Проведем через точку К прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро ВС в точке К₁. Аналогично, проведем через точку L прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро А₁В₁ в точке L₁. Соединим точки К и L₁, L и К₁. В сечении получили трапецию КL₁LК₁.

Построим плоскость ВВ₁М, обозначим точки ее пересечения с прямыми АС, КК₁ и LL₁ соответственно буквами N, E и F. Четырёхугольник ВВ₁М N является прямоугольником, так как призма АВСА₁В₁С₁ – правильная и боковые ребра перпендикулярны основаниям призмы. Найдем сторону ВN, она является высотой и медианой правильного треугольника АВС и по теореме Пифагора ВN² = АВ² – АN² = 36-9=27. ВN =3√3.

Рассмотрим треугольники АВС и ВКК₁, они подобны (по первому признаку), отсюда ВЕ:ВN = КВ:АВ=2:3. Значит ВЕ=2√3, ЕN = √3. Аналогично, треугольники А₁В₁С₁ и LL₁В₁ подобны и В₁F=√3, MF= 2√3. Отсюда следует что L₁L=2 и КК₁=4. Теперь рассмотрим прямоугольник ВВ₁МN (смотрите дополнительный чертеж). В прямоугольном треугольнике ВВ₁F найдем ВF по теореме Пифагора.  ВF²= В₁В² + В₁F² =9+3=12. ВF = 2√3. Но треугольник MNE равен треугольнику ВВ₁F, значит MNE= ВF = 2√3. Следовательно MFBE – ромб, а его диагонали BМ и FE перпендикулярны. Прямая АС перпендикулярна плоскости BMN, а прямая КК₁ параллельна АС, значит КК₁ тоже перпендикулярна плоскости BMN и прямой BМ. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости BМ перпендикулярна плоскости КL₁LК₁. Что и требовалось доказать.

б) Расстояние от точки М до плоскости КL₁LК₁ найти теперь легко. МО=MN=3, так как треугольники МОЕ и MNЕ равны. Отсюда и ЕО = NЕ =√3. Значит в трапеции КL₁LК₁ высота  FE =2√3.  Площадь трапеции КL₁LК₁ равна (L₁L+ КК₁)* FE/2=(2+4)* 2√3/2=6√3 Тогда объем пирамиды МКL₁LК₁ равен 3*6√3/3=6√3.

Ответ: б) 6√3