Натуральные числа и теорема косинусов

Рассмотрим еще одну задачу под номером 19, теперь из вариант №7 сборника «ЕГЭ 2019: Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий части 2/ под ред. И.В. Ященко». Задача о натуральных числах, но для ее решения необходимо помнить свойства дробей, неравенство треугольника и теорему косинусов.  

Задание 19 № 

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 13/7.

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 8/7

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Решение. Для решения этой задачи мы должны вспомнить следствия из теоремы косинусов, в частности, в тупоугольном треугольнике квадрат длины большей стороны всегда больше суммы квадратов длин его меньших сторон.

а) Приведем например, в треугольнике со сторонами 13, 7, 8 (неравенство треугольника выполнено 7+8>13) данное неравенство выполнено 13² больше суммы 7² и 8². Ответ Да.

б) Из условия следует, что большая и меньшая стороны треугольника кратны числам 8 и 7. Обозначим большую сторону 8а, тогда меньшая 7а. Следовательно, средняя сторона больше 7а, так как стороны различны. Но уже  (7а)² + (7а)² = 98а²  > 64а² = (8а)². Ответ Нет.

в) Обозначим меньшую сторону буквой a, а большую буквой  c. Тогда имеем неравенство c² > 625 + а² , в этих условиях необходимо найти наименьшее отношение c/а.

Вспомним, что значение дроби уменьшается при увеличении числителя и при уменьшении знаменателя. Найдем наибольшее возможное значение а. Для этого увеличим с и а на единицу, (с+1)/(а+1) = (1+(с – а )/(а+1))< (1+(с – а )/а) = c/а, отношение чисел стало меньше. Поэтому можно брать максимальное значение стороны a, которое равно 24.

Теперь будем просто уменьшать c пока это возможно, то есть пока c² > 625 +24²,  c² > 1201.  Наименьшее значение, которое может принимать c равно 35. Ответ 35/24.

 Ответ: а) 13, 7, 8; б) нет; в) 35/24.

Задание для самостоятельной работы:

Задание 19 из 8 варианта. Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 3/2.

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 5/4

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 18?