Равнобедренная трапеция и окружность

Разберём решение серии планиметрических задач из открытого банка ФИПИ по математике (профильный уровень). Эти задачи соответствуют уровню заданий под номером 16 профильного ЕГЭ. Для их решения необходимо хорошо знать геометрию на уровне 9 класса. В частности, свойства касательных и свойства радиуса, проведённого в точку касания, теорему Пифагора и теорему косинусов, свойство средней линии треугольника свойства параллелограмма, и другие.

Задание 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=60° и BC=2.

Решение. а) Отрезок QO является средней линией трапеции ABCD, а значит,

параллелен основаниям ВС и AD. Треугольник АОН равнобедренный, так как АО и ОН – радиусы окружности. Значит, угол ОАН равен углу ОНА, но угол ОАН равен углу D, так как трапеция равнобедренная. Значит, угол ОНА равен углу D, а это соответственные углы, образованные прямыми ОН и CD и секущей AD. Следовательно, прямые ОН и CD параллельны по 2 признаку параллельности прямых. Значит DQOH — параллелограмм.

б) Найдём AD, если ∠BAD=60° и BC=2. Заметим, что треугольник ОАН в этом случае – равносторонний. Проведём отрезок ВМ, где М - точка пересечения окружности с QО.  Тогда СQМВ — параллелограмм, МQ= ВС = 2. Треугольник ОВМ равен треугольнику ОАН (АО=ОВ, ОМ = ОН, угол ОАН равен углу МОВ – соответственные при параллельных АD и ОМ и секущей АВ). Треугольник ОВМ тоже равносторонний. СQМВ — параллелограмм, МQ= ВС = 2. Значит ОQ = ОМ + МQ = R+2, где R – радиус окружности. Так как радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то треугольник QОК – прямоугольный. 

PS. Можно в решении пойти немного другим путем. Из равенства углов ВАН и ВОМ, следует, что угол ВОМ тоже равен 60 градусам, а угол ЕОМ равен его половине, то есть 30 градусам. Из прямоугольного треугольника КОQ:

 

Задания для самостоятельного решения.

Задание 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=67,5° и BC=3.

Задание 2. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=75° и BC=1.