Каждой точке - характеристику функции и её производной

Производной на базовом ЕГЭ по математике отведено немного места, но всё же она присутствует. В данной статье рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике (базовый уровень).

Задание 1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки A, B, C и D на оси Ox. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

ТОЧКИ	ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНОЙ
А	1.      значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
В	2.      значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно
С	3.      значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно
D	4.      значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	B	C	D

Решение. Для выполнения этого задания необходимо вспомнить свойства производной функции. Если на некотором числовом промежутке производная функции положительна, то функция на этом числовом промежутке возрастает, если же производная отрицательна, то функция убывает. 

Наибольшее и наименьшее значения функции

Задания из открытого банка заданий ФИПИ, профильный уровень.

Вспомним алгоритм, позволяющий находить наибольшее и (или) наименьшее значение функции на отрезке.

1.    Находим область определения функции и проверяем, содержится в ней данный отрезок [a;b] полностью или частично.

2.    Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b]. Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.

3.    Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем корни, принадлежащие данному отрезку.

4.    Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также в крайних точках a и b.

5.    Из полученных значений функции выбираем наибольшее и (или) наименьшее.

Задание 1. Найти наименьшее значение функции y = 2x³−12x²+18x+3 на отрезке [−1; 2].

Решение. Заметим, что областью определения данной функции является множество всех действительных чисел R и отрезок [−1; 2] в ней содержится полностью.