Каждой точке - характеристику функции и её производной

Производной на базовом ЕГЭ по математике отведено немного места, но всё же она присутствует. В данной статье рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике (базовый уровень).

Задание 1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки A, B, C и D на оси Ox. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

ТОЧКИ	ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНОЙ
А	1.      значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
В	2.      значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно
С	3.      значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно
D	4.      значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	B	C	D

Решение. Для выполнения этого задания необходимо вспомнить свойства производной функции. Если на некотором числовом промежутке производная функции положительна, то функция на этом числовом промежутке возрастает, если же производная отрицательна, то функция убывает. 

Наибольшее и наименьшее значения функции (логарифмы и степени).

Задания из открытого банка заданий ФИПИ, профильный уровень.

Продолжаем решать задания на нахождение наибольшего или наименьшего значений функции на заданном отрезке.

Задание 2. Найдите наименьшее значение функции y=e^2x−5e^x−2 на отрезке [− 2; 1].

Наибольшее и наименьшее значения функции

Задания из открытого банка заданий ФИПИ, профильный уровень.

Вспомним алгоритм, позволяющий находить наибольшее и (или) наименьшее значение функции на отрезке.

1.    Находим область определения функции и проверяем, содержится в ней данный отрезок [a;b] полностью или частично.

2.    Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b]. Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.

3.    Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем корни, принадлежащие данному отрезку.

4.    Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также в крайних точках a и b.

5.    Из полученных значений функции выбираем наибольшее и (или) наименьшее.

Задание 1. Найти наименьшее значение функции y = 2x³−12x²+18x+3 на отрезке [−1; 2].

Решение. Заметим, что областью определения данной функции является множество всех действительных чисел R и отрезок [−1; 2] в ней содержится полностью.

Задачи одного чертежа

Для того. чтобы выработать внимательность при решении задач и чтении чертежей, чтобы подчеркнуть отличия функции и её производной, а также их связь, рассмотрим несколько задач на применение производной на одном чертеже.
Итак, первый случай. На чертеже задан график функции у = f(x).

Задание 1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение. Вспоминаем тот факт, что если на некотором числовом промежутке функция монотонно возрастает, то производная её в точках этого промежутка положительна. Наша функция возрастает на промежутках (-7;-4) и (-0,5; 1). Осталось подсчитать количество точек с целыми координатами на этих интервалах. Это -6, -5 и 0. Ответ 3.

Касательная.

Геометрический смысл производной (продолжение).

 Касательная.

Рассмотрим дальше примеры из открытого банка заданий по математике ЕГЭ. Сайт mathege.ru.

1. Задание B8 (№ 6067)

Прямая у = - 5х + 14 параллельна касательной к графику функции у = х³ + 3х² - 2х + 15. Найдите абсциссу точки касания.

 Решение. Поскольку касательная параллельна прямой  у = - 5х + 14, значит её угловой коэффициент равен - 5. По геометрическому смыслу производной  k = f'(x₀). Таким образом, чтобы найти абсциссу точки касания, мы должны найти производную функции и приравнять её к - 5.

Находим производную: у' = (х³ + 3х² - 2х + 15)' = 3х² + 6х - 2.

Приравниваем к - 5, получаем 3х² + 6х - 2= - 5, 3х² + 6х + 3 = 0. Делим обе части уравнения на 3, получаем х² + 2х + 1 = 0. Это уравнение имеет один корень х = - 1. Таким образом мы нашли, что касательная к графику функции у = х³ + 3х² - 2х + 15, проведённая в точке х = - 1, будет параллельна прямой у = - 5х + 14.

Ответ - 1.

Физический смысл производной.

Ещё часть задач из раздела В8 ЕГЭ по математике связана с физическим смыслом производной. Напомним его.  

Если положение точки при её движении задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S  есть мгновенная скорость движения в момент времени t, v(t) = S'(t).

Скорость – есть производная от пути по времени.

Геометрический смысл производной.

 Вспомним, что любая прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением y = kx + b, где k - некоторое число, называемое угловым коэффициентом прямой,  b – некоторое число.

Далее, вспомним, что все прямые с одним и тем же угловым коэффициентом параллельны. Если  b =0, то прямая проходит через начало координат. На рисунке справа изображены четыре параллельные прямые с угловым коэффициентом k, одна из них y = kx проходит через начало координат.