Окружность, построенная на стороне параллелограмма

 Тренировочная работа №9 задание 16.

  Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре,

проходит через точку пересечения диагоналей.

а) Докажите, что ABCD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM:MB=4:1. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 10.

Решение:

а) Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, то угол AКD прямой и треугольник AКD является прямоугольным. Следовательно, диагонали параллелограмма AВСD перпендикулярны друг другу, что означает, что этот параллелограмм – ромб.

Квадраты на сторонах треугольника

Напомним, что медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка является центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1 (считая от вершины). Медиана, соединяющая вершину треугольника A с серединой стороны a, обозначается m_a.

Медиана треугольника, через стороны этого треугольника выражается формулой:

Здесь а, b, с – стороны треугольника,  m_a – медиана треугольника, проведённая к стороне а.

Тренировочная работа №8 задание 16.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны AB.

а) Докажите, что СМ=0,5*DК.

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=14, BC=16,  угол АСВ=150⁰.

 

Решение: а) Приведём два способа доказательства.

Квадраты на катетах прямоугольного треугольника

В решении следующей задачи используются метод площадей (площадь треугольника можно

находить разными способами) и свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла на гипотенузу (она равна половине гипотенузы, а середина гипотенузы является центром описанной окружности).

Тренировочная работа №6 задание 16.

Задача 1. На катетах AС и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CM и DK перпендикулярны.

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Решение:

Окружность вписана в параллелограмм

Прежде чем перейдём к решению следующей задачи, вспомним теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Тренировочная работа №5 задание 16. 

В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит ее на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Решение:

Две окружности касаются друг друга

Тренировочная работа №4 задание 16.

Прежде чем перейдём к решению этой задачи, вспомним некоторые свойства окружностей. Если две окружности касаются друг друга, то центры этих окружностей и точка касания лежат на одной прямой (линии центров).

Если прямая касается окружности, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Задача 1. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

Бесплатные курсы повышения квалификации учителей

«Фоксфорд» второй год подряд проводит бесплатные онлайн-курсы повышения квалификации для учителей России. В прошлом году мы обучили свыше 20 000 учителей.

Этим летом мы планируем взять новую планку в 50 000 учителей. Что, вероятно, станет самыми масштабными курсами повышения квалификации учителей в истории страны. 

Занятия на курсах проводят общепризнанные эксперты, в частности 

• Андрей Сиденко, вошедший в десятку самых влиятельных педагогов мира,
• Вадим Ерёмин, руководитель команды России на международной олимпиаде по химии,
• Андрей Григорьев, председатель Центральной предметно-методической комиссии по русскому языку Всероссийской олимпиады школьников,
• Борис Трушин, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике,
• а также авторы школьных учебников, члены жюри олимпиад и эксперты ЕГЭ

Список курсов:

Под каким углом надо прыгать на платформу?

Приведём очередную серию задач из открытого банка ФИПИ с практическим содержанием (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ), при решении которых надо уметь производить простейшие вычисления и находить углы по найденным значениям тригонометрических функций.

Задание №28665

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью v=4 м/с под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью, заданной формулой (1), где m=75 кг — масса скейтбордиста со скейтом, а M=300 кг — масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,4 м/с?

Решение. Решаем неравенство 

Какой вклад выгоднее?

Продолжаем решать задачи с экономическим содержанием, которые в КИМах ЕГЭ по математике (профильный уровень) стоят под номером 19. Сегодня определяем какой из вкладов выгоднее, то есть на каком мы получим большую сумму через некоторое количество лет.

Задание 1. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

Решение. Предположим, что мы внесли на оба вклада одинаковую сумму денег, обозначим её буквой S. Тогда на вкладе «А» через год сумма станет равной 1,1S, через два года 1,1²S, через три года 1,1³S=1,331S (в конце каждого года сумма увеличивается на 10 %, то есть в 1,1  раза).

Как установить кресла на карусели

Итак, продолжаем решать задачи с экономическим содержанием, которые в КИМах ЕГЭ

по математике (профильный уровень) стоят под номером 19. Задания вполне под силу выпускникам и на них надо зарабатывать баллы.

Приведённая задача использует законы комбинаторики и требует внимательного подсчёта количества возможных вариантов.

Здание 1. Завод выпускает кресла шести видов для детской круглой карусели. Каждая карусель рассчитана на 5 кресел, которые нужно установить. Сколькими способами это можно сделать в каждом из перечисленный случаев, если способы, получающиеся друг из друга поворотом,  считать одинаковыми?

а) Все кресла различные.

б) Представлены кресла 4 видов.

в) Каждого вида не более 2 видов.

Решение.