Две окружности касаются друг друга

Тренировочная работа №4 задание 16.

Прежде чем перейдём к решению этой задачи, вспомним некоторые свойства окружностей. Если две окружности касаются друг друга, то центры этих окружностей и точка касания лежат на одной прямой (линии центров).

Если прямая касается окружности, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Задача 1. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

Решение. а) Периметр треугольника АВС, с вершинами в центрах трех окружностей, равен сумме АВ+ВС+АС. Обозначим радиус большой окружности  R, радиус окружности с центром в точке С – r₁,  радиус окружности с центром в точке А –r₂.

Тогда, ВС = ВК – СК = R– r₁, АС = АD + DС = r₁ + r₂, АВ = ВМ – АМ = R– r₂. В итоге

АВ+ВС+АС = R– r₂ + R– r₁ + r₁ + r₂ = 2R.

б) Найдем радиус r₂ третьей окружности, если R = 4, r₁ = 1. Пусть r₂ = х.

Тогда АС = х + 1, ВС = 4 – 1 = 3, АВ = 4 – х.

Из прямоугольного треугольника АСЕ по теореме Пифагора имеем АС² = АЕ² + ЕС².

(х + 1)² = х² + ЕС² или ЕС² = 2х + 1.

Из прямоугольного треугольника АВЕ по теореме Пифагора имеем АВ² = АЕ² + ВЕ².

(4 – х)² = х² + ВЕ² или ВЕ² = 16 – 8х.

Так как СЕ = ВЕ + ВС = ВЕ + 3, получаем уравнение

25х² – 120х + 144 = 144 – 72х.

25х² – 48х = 0. Отсюда х = 1,92.

Ответ 1,92.

Задание для самостоятельной работы.

Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2014)

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.

Ответ 3.