Квадраты на сторонах треугольника

Напомним, что медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка является центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1 (считая от вершины). Медиана, соединяющая вершину треугольника A с серединой стороны a, обозначается m_a.

Медиана треугольника, через стороны этого треугольника выражается формулой:

Здесь а, b, с – стороны треугольника,  m_a – медиана треугольника, проведённая к стороне а.

Тренировочная работа №8 задание 16.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны AB.

а) Докажите, что СМ=0,5*DК.

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=14, BC=16,  угол АСВ=150⁰.

 

Решение: а) Приведём два способа доказательства.

1 способ. Заметим, что угол DСК = 180⁰ – угол АСВ. По теореме косинусов для треугольника DСК имеем DК² = DС² + СК² – 2* DС*СК*cos DСК =

DС² + СК² – 2* DС*СК*cos(180⁰ – ÐАСВ) = DС² + СК² + 2* DС*СК*cosАСВ.

По теореме косинусов для треугольника АВС имеем

АВ² = АС² + СВ² – 2* АС*СВ*cosАСВ.

Найдём медиану СМ по приведённой выше формуле.

СМ² = 0,25*(2* АС² + 2*СВ² – АВ²)= 0,25*(2* АС² + 2*СВ² – АС² – СВ² + 2* АС*СВ*cos АСВ) = 0,25*( АС² + СВ² + 2* АС*СВ*cosÐАСВ) =

0,25*( DС² + СК² + 2* DС*СК*cosАСВ)= 0,25* DК², то есть мы получили

СМ² =0,25* DК², отсюда СМ=0,5*DК.

2 способ. Достроим треугольник АВС до параллелограмма АТВС. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то СМ – половина диагонали СТ. Заметим, что треугольники АТС и DСК равны по первому признаку равенства треугольников (АС= DС, АТ=СВ=СК, ÐСАТ=Ð DСК). Значит

СТ= DК, СМ = 0,5 СТ = 0,5 DК.

б) Приведём три способа решения задачи.

1 способ.

 

Рассмотрим треугольники АСК и DСВ, они равны по первому признаку равенства треугольников (АС= DС, СВ=СК, угол АСК=угол DСВ=90⁰ + угол DСК). Значит АК = DВ.

По теореме косинусов для треугольника АСК имеем АК² = АС² + СК² – 2* АС*СК*cos АСК = 14² + 16² – 2* 14*16*cos 120⁰ = 196+256 +448*0,5 = 452 +224 = 676.

АК= DВ = 26.

МО₁ – средняя линия треугольника АВК, МО₁ = 0,5АК = 13.

ОМ – средняя линия треугольника АВD, ОМ = 0,5 DВ = 13.

Ответ 13.

2 способ. Можно посмотреть здесь

http://easy-physic.ru/zadacha-16-profilnogo-ege/

3 способ. Можно посмотреть здесь

http://c1c6.ru/c4/100-na-storonakh-ac-i-bc-treugolnika-abc-vne-treugolnika-postroeny-kvadraty-acde-i-bfkc

Задания для самостоятельной работы.

Задание 1. На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны AB.

а) Докажите, что СМ=0,5*DК.

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=6, BC=10,  угол АСВ=30⁰.

Ответ 7.