Окружность, построенная на стороне параллелограмма

 Тренировочная работа №9 задание 16.

  Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре,

проходит через точку пересечения диагоналей.

а) Докажите, что ABCD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM:MB=4:1. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 10.

Решение:

а) Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, то угол AКD прямой и треугольник AКD является прямоугольным. Следовательно, диагонали параллелограмма AВСD перпендикулярны друг другу, что означает, что этот параллелограмм – ромб.

б) Так как ABCD – ромб и все его стороны равны, то АB = AD = 10. Из отношения AM:MB=4:1 следует, что АМ = 8, МВ = 2.

В треугольнике AМD по теореме Пифагора найдём МD.

МD² = AD² – АМ² = 10² – 8² = 36. МD = 6.

Далее, в треугольнике ВМD по теореме Пифагора найдём ВD.

  Задания для самостоятельной работы.

Задание 1. Окружность, построенная на стороне AD‍ параллелограмма ABCD‍ как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Докажите, что ABCD —‍ ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону AB‍ в точке M,‍ причём AM : MB = 2 : 1.‍ Найдите диагональ AC,‍ если известно AD² = 6.

Задание 2. Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали AC и пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM : AB, если AC = 3BD.

Задание 3. На стороне AB параллелограмма ABCD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны AD. Найдите углы параллелограмма.