Окружность вписана в параллелограмм

Прежде чем перейдём к решению следующей задачи, вспомним теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Тренировочная работа №5 задание 16. 

В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит ее на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Решение:

а) Центр окружности O лежит на биссектрисе угла ВАD. Аналогично, поскольку окружность вписана и в угол АВС, то ее центр О лежит также на биссектрисе этого угла.

Так как AC – диагональ параллелограмма и является биссектрисой равных углов ВАD и ВСD, то она  разделит параллелограмм на  два равных и равнобедренных треугольника,   ABC и ADC. Равны эти треугольники по третьему признаку, так по свойству параллелограмма АВ = СD и ВС = АD, АС – общая сторона. Равнобедренными ABC и ADC являются, так как углы ВАС, ВСА, САD и АСD равны. Следовательно, АВ=ВС=СD=АD, параллелограмм ABCD является ромбом.

б) Соединим последовательно точки касания окружности и ромба ABCD. Найдем площадь EMNP. Докажем, что этот четырехугольник является прямоугольником. CB=CD=АВ=АD - стороны ромба, по свойству касательных CN=CP и АМ=АЕ, следовательно, BN=PD=BM=ED, отсюда прямые NP и МЕ параллельны ВD, прямые МN и ЕР параллельны АС. Следовательно, EMNP – параллелограмм. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то прямые NP и МЕ перпендикулярны прямым МN и ЕР, следовательно, все углы параллелограмма EMNP - прямые.

Найдём стороны прямоугольника EMNP. Проведём радиус ОN, он перпендикулярен касательной ВС. Из прямоугольного треугольника ВОС по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике ОN²= ВN*NС= 2*3=6.

Задание для самостоятельной работы.

В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Решение можно найти здесь http://reshimvse.com/zadacha.php?id=3959