Квадраты на катетах прямоугольного треугольника

В решении следующей задачи используются метод площадей (площадь треугольника можно

находить разными способами) и свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла на гипотенузу (она равна половине гипотенузы, а середина гипотенузы является центром описанной окружности).

Тренировочная работа №6 задание 16.

Задача 1. На катетах AС и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CM и DK перпендикулярны.

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Решение:

а) Треугольник DCK равен треугольнику ABC по первому признаку (DC=АС как стороны одного квадрата, КС=СВ также, углы DCК и АСВ – прямые). Значит, углы DКC и АВС равны СDК и САВ равны. Так как точка М – середина гипотенузы, то она является центром окружности описанной около треугольника ABC. МА=МВ=МС как радиусы описанной окружности. Поэтому треугольник CMА равнобедренный, углы САМ и АСМ равны. Углы АСМ и НСК равны как вертикальные.

Следовательно, сумма углов НСК и СКН равна сумме углов САМ и МВС и равна 90⁰. Значит угол СНК – прямой, прямые CM и DK перпендикулярны.

б) В треугольнике DCK катеты равны 130 и 312, по теореме Пифагора DК² =130²+312²= 16900+97344=114244 = 338². DК=338. Отсюда СМ=АМ=0,5*АВ=0,5* DК =0,5*338=169.

Площадь треугольника DСК=0,5*DС*СК=0,5*130*312=130*156.

Но, с другой стороны,  площадь треугольника

DСК=0,5*DК*СН=0,5*338*СН = 169*СН, получаем уравнение

169*СН = 130*156,

СН = 120. МН = СН + СМ = 120 + 169 =289.

Ответ 289.

Задания для самостоятельной работы.

Задание 1. На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M - середина гипотенузы AB, H - точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CM и DK перпендикулярны.

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 30 и 40.

Ответ 49.

Задание 2. Вне прямоугольного треугольника АВС на его катетах АС и ВС построены квадраты ACDE и BCFG. Продолжение медианы СМ треугольника АВС пересекает прямую DF в точке N. Найдите отрезок CN, если катеты равны 1 и 4.

Задание 3. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника вне его построены квадраты ACDE и BCKF. Из точек E и F на продолжение гипотенузы опущены перпендикуляры EM и FN. Докажите, что EM + FN = AB.