Углы между прямыми в кубе

Рассмотрим решения стереометрических задач из открытого банка заданий, расподоженного на сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Задачи на нахождение углов между скрещивающимися прямыми в кубе.

Перед тем, как мы приступим к решению первой задачи, вспомним определение угла между скрещивающимися прямыми.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

За­да­ние 1. Точка E — се­ре­ди­на ребра CC​₁ куба ABCDA​₁B₁C₁D₁. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AD.

Ре­ше­ние.

По условию, задача верна для любого куба. Для того чтобы в решении было меньше дробей, предположим, что ребро куба равно 2 единицам. Тогда CE=1 .

 Пря­мая AD па­рал­лель­на пря­мой BC, зна­чит, угол между пря­мы­ми BE и AD равен углу CBE.

 Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CBE с пря­мым углом С имеем:

tg ÐCBE = CE: CB =1:2 =0,5,

тогда ÐCBE = arctg0,5.

 Ответ: arctg0,5.

Перед решением второй задачи напомним теорему косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.