Трапеция и прямоугольный треугольник

Рассмотрим еще одну задачу уровня 26 задачи КИМов ОГЭ, где трапецию необходимо достраивать до треугольника.

Задача. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 39 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=18.

Решение. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке Е. Так как сумма углов А  и D равна  90^⁰, то угол Е – прямой. Обозначим центр окружности буквой О, а точку касания окружности и стороны CD буквой Р. Тогда радиус ОР перпендикулярен касательной CD. Опустим перпендикуляр из центра окружности на хорду АВ, тогда он является и медианой, АН=ВН=9.

Докажите, что данный параллелограмм...

Решим два вида заданий из раздела "геометрия" экзамена по математике в 9 классе.

Задание 1. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны AB. Известно, что KC=KD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение. Рассмотрим треугольники КВС и КАD, у них стороны KC=KD по условию, ВС = АD как противоположные стороны параллелограмма, АК=КВ по условию (К- середина АВ). Значит треугольники КВС и КАD равны. Поскольку в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, то угол АВС равен углу ВАD. Но это односторонние углы при параллельных АD и ВС и секущей АВ, их сумма равна 180 градусам, значит каждый из этих углов равен 90 градусам. Если у параллелограмма хотя бы один угол – прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

Задание 2. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.

Решение. Для решения этой задачи нам необходимо вспомнить три факта из пройденного курса геометрии.

Окружность вписана в параллелограмм

Прежде чем перейдём к решению следующей задачи, вспомним теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Тренировочная работа №5 задание 16. 

В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит ее на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Решение:

Стороны прямоугольника касаются окружности

Тренировочная работа №2 задание 16

Задача 1. Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причем точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что ∠DМР = ∠СВМ.

б) Известно, что CM=17 и CD=25. Найдите сторону AD.

Решение.

а) Пусть угол MQD равен a. Он равен углу CBM как накрестлежащий при параллельных прямых АD и ВС и секущей ВQ,  угол MQD является вписанным углом окружности, поэтому центральный угол, опирающийся на ту же дугу – угол MOP, равен 2a.  Треугольник MOP равнобедренный (ОМ и ОР – радиусы), поэтому ∠ОМР = (180 - 2a)/2 = 90 -a. Угол OMD – прямой, так как OM – радиус, а CD – касательная. Тогда ∠DMP = 90 – (90 - a) = a.