Отрезок, длина которого не изменяется

Рассмотрим еще одну задачу с двумя окружностями в треугольнике. Исследуем ситуацию, созданную в задаче 16 в 35 варианте учебно-методического пособия «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.

Задача 1. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС. В треугольники АВD и АСD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от ВС), пересекающая АD в точке К.

а) Докажите, что длина отрезка АК не зависит от положения точки D на ВС.

б) Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника АВС равен 30, а ВС равна 10.

 Решение. Решение задачи не сложное, основано на свойстве касательных (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны).

Выразим АК двумя способами.

АК = АТ – КТ,

АК = АF – КF. По свойству касательных КТ = КМ, КF = КN и АТ = АЕ, АF = АР.

Так длины отрезков двух общих внешних касательных к двум окружностям, заключенных между точками касания равны, то MN = HZ. Тогда

2*АК = АТ – КТ + АF – КF = АТ + АF – (КТ + КF) = АЕ + АР – MN = АС – ЕС + АВ – ВР – MN = АС + АВ – (ЕС + ВР + MN) = АС + АВ – (СН + ВZ + HZ) = АС + АВ – ВС. То есть АК = (АС + АВ – ВС)/2 и не зависит от положения точки D.

б) Найдем длину отрезка АК, если периметр треугольника АВС равен 30, а ВС равна 10. В этом случае АС + АВ = 30 – 10 = 20.

АК = (АС + АВ – ВС)/2 = (20 – 10)/2. Отсюда АК = 5.

Для самостоятельного решения.

Задача 2. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС. В треугольники АВD и АСD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от ВС), пересекающая АD в точке К.

а) Докажите, что длина отрезка АК не зависит от положения точки D на ВС.

б) Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника АВС равен 20, а ВС равна 5.

Дополнительно можно прочитать статью в журнале «Квант» «Две окружности в треугольнике, три окружности в треугольнике…».

http://geometry.ru/articles/blinkovs_circles.pdf