Трапеция в треугольнике

Рассмотрим ещё одну интересную задачу, предлагавшуюся на ЕГЭ под номером 16, то есть за ее правильное решение дается 3 первичных балла. В этой задаче полуокружность, вписанная в прямоугольный треугольник является причиной возникновения трапеции, площадь которой и необходимо найти.

Задача. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка Р. Окружность с центром О и диаметром СР касается гипотенузы в точке К.

а) Докажите, что прямые РК и ОВ параллельны.

б) Найдите площадь четырёхугольника ВОРК, если СК=4 и АР:РС=1:3.

Решение. а) Поскольку прямая ВС проходит через точку С окружности и перпендикулярна радиусу ОС, то ВС- касательная к данной окружности. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, прямая ВО перпендикулярна прямой СК. Так как ОК – радиус, проведенный в точку касания, то ОК перпендикулярен АВ. Угол РКС – вписанный и опирается на диаметр РС, значит угол РКС – прямой. Так как прямая ВО перпендикулярна СК и прямая РК перпендикулярна прямой СК, то они параллельны.

Найти сумму арифметической прогрессии

Продолжим решать задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ на прогрессии. Рассмотрим те, в которых необходимо найти сумму первых нескольких членов заданной арифметической прогрессии.

Напомним формулы.

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

S_n = (а₁ + а_n)n /2.

S_n =(2а₁ +( n −1)d)n/2.

Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 6; 10; 14; … Найдите сумму первых пяти её членов.

Решение. Из условия имеем а₁=6. Разность арифметической прогрессии d = а₂ − а₁ = 10−6 = 4. По второй формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии находим сумму первых пяти (n=5):

S₅ =(2*6 +(5 −1)*4)*5/2=70.

Ответ: 70.

Задача 2. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 0,6 и a₁ =6,2. Найдите сумму первых шести её членов.

Все на старт

Рассмотрим серию задач на движение из открытого банка ФИПИ по математике. Задача, решение которой рассматривается подробно, предлагалась на государственных экзаменах в 2017 году. Рассмотрим несколько способов решения этой задачи.

Задача 1. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.

Решение. 1 способ (приведен в критериях оценивания задания).

Пусть скорость первого бегуна равна v км/ч, тогда скорость второго v+11 км/ч, а длина круга равна 40(v+11)/60 км.

Получаем уравнение:

40(v+11)/60 – 4 = v;

2(v+11) – 12 = 3v, откуда v=10.

Ответ: 10 км/ч.

Биссектриса делит высоту треугольника

Рассмотрим серию геометрических задач повышенного уровня сложности, предлагаемых в КИМах для подготовки к ОГЭ по математике в 9 классе под номером 26. В решении этих задач используются свойства биссектрисы треугольника и теорема синусов.

Задача 1. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 25:24, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=14.

Решение. 1 способ. Пусть высота треугольника ВН пересекается с биссектрисой угла A в точке О. Тогда ВО:ОН=25:24.

Рассмотрим треугольник АВН, по свойству биссектрисы ВА:АН=ВО:ОН=25:24. Отсюда, по определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике cosА=АН:АВ=24:25=0,96. Из основного тригонометрического тождества находим

sin²А=1 – cos²А= 1 – 0,96²= 0,0784.

sinА=0,28.

Найдите число в арифметической прогрессии

Рассмотрим задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ, в которых необходимо найти какой-либо член заданной арифметической прогрессии. Напомним некоторые факты.

Определение. Числовая последовательность а₁, а₂, а₃, …, а_n, … называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство а_n = а_n + d, где d – некоторое число.

Основное (характеристическое) свойство арифметической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, т.е.

а_n = (а_n-1 + а_n+1)/2.

 Формула n-го члена арифметической прогрессии

а_n = а₁ +( n −1)d.

Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 13; 6; … Найдите 7-й член этой прогрессии.

В окружность вписан треугольник

Рассмотрим серию геометрических задач повышенного уровня сложности, предлагаемых в КИМах для подготовки к ОГЭ по математике в 9 классе. В решении этих задач используются свойства вписанных в окружность углов, свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике и свойства подобных треугольников.

Задача. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=18, AC=36, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Решение. Продолжим радиус АО до пересечения с окружностью в точке К. Соединим отрезками точку К с точками В и С.

Рассмотрим треугольник АВК, в нем угол АВК – прямой, так как вписанный угол АВК опирается на диаметр АК. Из вершины В треугольника АВК опущена высота на гипотенузу АК. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике АВ²=АР*АК или АР*АК = 18².

Спортивные соревнования и спортивные нормативы

Спортивные соревнования различных видов, спортивные нормативы тоже представлены на ОГЭ по математике в 9 классе. Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ, в которых надо уметь определять отметки по результатам соревнований и данным нормативам. В заданиях такого вида чаще всего учащиеся делают ошибки из-за спешки, забывая, что чем меньше время бега, тем выше оценка. Вторая ошибка, которая часто встречается – вместо номера правильного ответа пишется сама отметка.

Задача 1. В таблице приведены нормативы по бегу на 60 метров для учащихся 9 класса.

	Мальчики			Девочки
Отметка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Время (в секундах)	8,5	9,2	10,0	9,4	10,0	10,5

Какую отметку получит девочка, пробежавшая 60 метров за 9,52 секунды?

1)	Отметка «5»
2)	Отметка «4»
3)	Отметка «3»
4)	Норматив не выполнен

Решение. Смотрим на нормативы девочек. Так как 9,4<9,52<10,0, то отметка «4».

Ответ 2.

Штрафы за превышение скорости

Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике 9 класса, в которых надо уметь рассчитывать штрафы за превышение скорости по данным таблицам.

Задача 1. В таблице приведены размеры штрафов, установленные на территории России с 1 сентября 2013 года, за превышение максимальной разрешённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации.

Превышение скорости (в км/ч)	21-40	41-60	61-80	81 и более
Размер штрафа (в руб.)	500	1000	2000	5000

Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 183 км/ч на участке дороги с максимальной разрешённой скоростью 110 км/ч?

1)	500
2)	1000
3)	2000
4)	5000

Решение. Вычтем из зафиксированной скорости максимальную разрешенную скорость 183-110=73,  поскольку 61 <73<80 по таблице находим штраф 2000.

Ответ 3.

Расстояние от Солнца до Юпитера

Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике 9 класса, в которых надо уметь выполнять действия с большими числами, уметь эти числа округлять. И уметь внимательно читать задание и правильно записывать ответ.

Задача 1. Расстояние от Солнца до Юпитера равно 779 000 000 км. Сколько времени идёт свет от Солнца до Юпитера? Скорость света равна 300 000 км/с. Ответ дайте в минутах и округлите до десятых.

Решение. Для того чтобы найти время, которое идёт свет от Солнца до Юпитера надо расстояние разделить на скорость.

779 000 000 км: 300 000 км/с=2597 с. Осталось время перевести в минуты и округлить до десятых.

2597 с:60=43,3 мин.

Ответ 43,3

Сколько платить по акциям?

Задача 1. Государству принадлежит 80% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 10 млн руб. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Решение. Частным лицам принадлежит 100-80=20 процентов акций предприятия. Значит на них будет выплачено 20% прибыли.

10 000 000*0,2=2 000 000 руб.

Ответ 2000000.

Задача 2. Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 7:3. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 42 млн руб. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Трапеция и прямоугольный треугольник

Рассмотрим еще одну задачу уровня 26 задачи КИМов ОГЭ, где трапецию необходимо достраивать до треугольника.

Задача. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 39 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=18.

Решение. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке Е. Так как сумма углов А  и D равна  90^⁰, то угол Е – прямой. Обозначим центр окружности буквой О, а точку касания окружности и стороны CD буквой Р. Тогда радиус ОР перпендикулярен касательной CD. Опустим перпендикуляр из центра окружности на хорду АВ, тогда он является и медианой, АН=ВН=9.

Сечение в правильной четырехугольной призме

Рассмотрим очередную двухбалльную стереометрическую задачу из тренировочных КИМов.

Задача. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона АВ основания  равна 5, а боковое ребро АА₁ равно корню квадратному из пяти. На ребрах ВС и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причем СК=2, а C₁L=1. Плоскость g параллельна прямой ВD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая А₁С перпендикулярна плоскости g.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка А₁, а основание – сечение данной призмы плоскостью g.

Решение. а) Внимательно выполним чертеж и проанализируем данные. Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная четырехугольная призма, значит основание ABCD – квадрат со стороной 5. Боковые ребра перпендикулярны основаниям. Так как плоскость g проходит через точку К и параллельна прямой ВD, то линия пересечения плоскости g и плоскости АВС параллельна прямой ВD (Если через прямую, параллельную данной плоскости провести другую плоскость, то линия пересечения этих плоскостей будет параллельна данной прямой).