В окружность вписан треугольник

Рассмотрим серию геометрических задач повышенного уровня сложности, предлагаемых в КИМах для подготовки к ОГЭ по математике в 9 классе. В решении этих задач используются свойства вписанных в окружность углов, свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике и свойства подобных треугольников.

Задача. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=18, AC=36, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Решение. Продолжим радиус АО до пересечения с окружностью в точке К. Соединим отрезками точку К с точками В и С.

Рассмотрим треугольник АВК, в нем угол АВК – прямой, так как вписанный угол АВК опирается на диаметр АК. Из вершины В треугольника АВК опущена высота на гипотенузу АК. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике АВ²=АР*АК или АР*АК = 18².

Рассмотрим треугольники АКС и АРD. Они имеют общий угол КАС, прямые углы АРD (так как ВD перпендикулярна АО по условию) и АСК (вписанный угол, опирающийся на диаметр АК). Треугольники АКС и АРD подобны по первому признаку, а значит, соответствующие стороны пропорциональны:

АК:АD=АС:АР. По свойству пропорции АК*АР=АС*АD. Но АР*АК = 18² и получаем 36*АD=18², АD=9. Тогда СD=36-9=27.

Ответ АD=27.

Задачи для самостоятельного решения.

1.      В треугольнике ABC известны длины сторон AB=30, AC=100, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

2.      В треугольнике ABC известны длины сторон AB=12, AC=72, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

3.      В треугольнике ABC известны длины сторон AB=36, AC=54, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

4.      В треугольнике ABC известны длины сторон AB=28, AC=56, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

5.      В треугольнике ABC известны длины сторон AB=60, AC=80, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

6.      В треугольнике ABC известны длины сторон AB=15, AC=25, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.