Трапеция и прямоугольный треугольник

Рассмотрим еще одну задачу уровня 26 задачи КИМов ОГЭ, где трапецию необходимо достраивать до треугольника.

Задача. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 39 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=18.

Решение. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке Е. Так как сумма углов А  и D равна  90^⁰, то угол Е – прямой. Обозначим центр окружности буквой О, а точку касания окружности и стороны CD буквой Р. Тогда радиус ОР перпендикулярен касательной CD. Опустим перпендикуляр из центра окружности на хорду АВ, тогда он является и медианой, АН=ВН=9.

В результате видим, что ОНЕР – прямоугольник и НЕ=ОР=R, где R – радиус окружности.

ВЕ= R - 9.

Треугольники АЕD и ВЕС подобны по первому признаку ( угол Е – общий, углы ЕСВ и CDА – соответственные при параллельных ВС и АD и секущей CD). Получаем пропорцию

ВЕ:АЕ=ВС: АD, (R – 9):( R + 9)=3:39, 39*(R – 9)=3*(R + 9), 13*(R – 9)=R + 9, R =10.

Ответ 10.

Задачи для самостоятельного решения.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 37 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=14.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=10.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 48 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=3.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 45 и 15, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=9.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 30 и 10, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=13.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 46 и 23, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=10.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 45 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=24.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 36 и 31, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=3.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 39 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=24.