Биссектриса делит высоту треугольника

Рассмотрим серию геометрических задач повышенного уровня сложности, предлагаемых в КИМах для подготовки к ОГЭ по математике в 9 классе под номером 26. В решении этих задач используются свойства биссектрисы треугольника и теорема синусов.

Задача 1. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 25:24, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=14.

Решение. 1 способ. Пусть высота треугольника ВН пересекается с биссектрисой угла A в точке О. Тогда ВО:ОН=25:24.

Рассмотрим треугольник АВН, по свойству биссектрисы ВА:АН=ВО:ОН=25:24. Отсюда, по определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике cosА=АН:АВ=24:25=0,96. Из основного тригонометрического тождества находим

sin²А=1 – cos²А= 1 – 0,96²= 0,0784.

sinА=0,28.

По теореме синусов в треугольнике АВС имеем 2R = ВС: sinА=14:0,28=50.

Радиус окружности, описанной около треугольника ABC R =50:2=25.

Ответ 25.

2 способ. Пусть высота треугольника ВН пересекается с биссектрисой угла A в точке О. Тогда ВО:ОН=25:24.

Из треугольника АВН, по свойству биссектрисы ВА:АН=ВО:ОН=25:24. Будем считать, что ВА=25у, АН=24у, ВО=25х, ОН=24х. Тогда ВН=ВО+ОН=49х.

По теореме Пифагора ВА²=АН²+ВН² или (25у)²=(24у)²+(49х)². Отсюда

(25у)² – (24у)² = (49х)², 625у² – 576у² = 49²х², 49у² = 49²х², у² = 49х², у = 7х.

ВА=25у=25*7х = 175х.

sinА=ВН:ВА=49х: 175х= 0,28. А далее как в первом способе.

Ответ 25.

Второй способ интересен тем, что в нем устанавливается, что сторона АВ в семь раз больше ВО, а отрезок АН в семь раз больше ОН.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведенную из вершины В, в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите длину стороны ВС треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 26 см.
2. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=8.
3. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=18.

Еще подобные задачи и их решения можно найти по ссылке http://school.umk-spo.biz/gia/forum/treyg/bsdl_2