Трапеция в треугольнике

Рассмотрим ещё одну интересную задачу, предлагавшуюся на ЕГЭ под номером 16, то есть за ее правильное решение дается 3 первичных балла. В этой задаче полуокружность, вписанная в прямоугольный треугольник является причиной возникновения трапеции, площадь которой и необходимо найти.

Задача. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка Р. Окружность с центром О и диаметром СР касается гипотенузы в точке К.

а) Докажите, что прямые РК и ОВ параллельны.

б) Найдите площадь четырёхугольника ВОРК, если СК=4 и АР:РС=1:3.

Решение. а) Поскольку прямая ВС проходит через точку С окружности и перпендикулярна радиусу ОС, то ВС- касательная к данной окружности. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, прямая ВО перпендикулярна прямой СК. Так как ОК – радиус, проведенный в точку касания, то ОК перпендикулярен АВ. Угол РКС – вписанный и опирается на диаметр РС, значит угол РКС – прямой. Так как прямая ВО перпендикулярна СК и прямая РК перпендикулярна прямой СК, то они параллельны.

б) Предположим АР=2х, следовательно АМ=6х. Тогда ОС=3х, ОА=5х, АС=8х. По свойству касательных, проведенных из одной точки отрезок ВО - биссектриса угла АВС. В треугольнике АВС по свойству биссектрисы

ВС:АВ=ОС:ОА=3х:5х=3/5.

Предположим АВ=5а, тоглда ВС=3а. По теореме Пифагора в треугольнике АВС АС²=АВ²–ВС²=25а²–9а²=16а². АС=4а.

Получили АС=8х=4а, значит а=2х. Следовательно, ВС=6х.

Отрезки ВО и СК пересекаются в точке Н. Тогда Н — середина СК, а ОН — средняя линия треугольника СРК. Так как углы СРК и СОВ равны (соответственные при параллельных ОВ и РК и секущей АС), прямоугольные треугольники СРК и ВОС подобны по первому признаку, соответствующие стороны пропорциональны

РК:ОС=СК:ВС. После подстановки получаем

РК: 3х=4:6х или РК=4*3х:6х=2. Тогда ОР=РК/2=1.

Из прямоугольного треугольника ВКО по свойству пропорциональных отрезков имеем:

КН²=ОН*ВН или ВН=2²/1=4.

Следовательно, ВО=ВН+ОН=4+1=5.

По формуле площади трапеции S_ВОРК=(ВО+РК)*КН/2=(5+2)*2/2=7.

Ответ: б) 7.