Когда надо отключать прибор?

Внимательно относитесь к приборам, окружающим вас. У каждого из них есть свои ограничения и правила эксплуатации. Здесь мы проведём расчёты для нагревательных элементов. Для этого тоже надо уметь решать квадратные уравнения и производить не сложные вычисления. Задачи из открытого банка ФИПИ (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ).

Задание №41473  Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы: T(t)=T₀+bt+at², где t — время в минутах, T₀=1220 К, a=−20 К/мин², b=200 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение. Подставляем все данные в формулу и получаем квадратное уравнение

1400=1220+200t −20 t², перенесём всё в левую часть уравнения.

Камнеметательные машины на экзаменах

Теперь проведём расчёты для камнеметательных машин. Выстреливаемые ими камни летят по параболе, а по этому надо уметь решать квадратные уравнения и уметь вычислять. Всё это в публикуемой серии задач из открытого банка ФИПИ (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ).

Задание №41423  Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой y=ax²+bx, где a=−1/400 м⁻¹, b=3/8 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение. Высота полёта камня должна быть не меньше 8+1=9 метров. Подставляем все данные в формулу и получаем квадратное уравнение

Неравенства базового уровня

В этой статье рассмотрим решение заданий, которые предлагаются на базовом ЕГЭ о математике под номером 17. Задания из открытого банка заданий (базовый уровень), расположенного на сайте ФИПИ. Здесь необходимо уметь находить решения простых квадратных, показательных, логарифмических, дробно-рациональных уравнений.

Задание 1. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

 Решение. Рассмотрим первое неравенство. Дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель этой дроби имеют разные знаки. Но у нас в знаменателе стоит квадрат какого-то числа, а он всегда неотрицателен (больше нуля или равен нулю). Но так как на нуль делить нельзя, то х не может равнять трём и (х – 3)²>0. Значит, числитель должен быть отрицательным

х – 5 <0 или х  < 5. Соответствующий ответ находится под номером 4.

Рассмотрим второе неравенство. Показательное. Одна двадцать пятая, это пять в минус второй степени и мы имеем 5^–х+1<5^–2, отсюда –х+1<–2 или –х <–3. Умножая обе части неравенства на –1 и меняя знак неравенства, получаем ответ х>3. Соответствующий ответ находится под номером 2.

Квадратные и линейные уравнения

Задания из открытого банка заданий (базовый уровень), расположенного на сайте ФИПИ. Здесь необходимо найти корни по общей формуле, по формуле корней приведённого квадратного уравнения или по теореме, обратной к теореме Виета. Во второй части приведены несколько линейных уравнений.

Задание 1. Решите уравнение x² +8=6x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение. Перенесём 6x в левую часть уравнения, изменив при этом знак. Получим приведённое квадратное уравнение  x² − 6x + 8= 0.

По теореме, обратной к теореме Виета, сумма корней должна равняться 6, а произведение 8. Этому требованию удовлетворяют числа х₁=2 и х₂=4.

В ответ пишем больший  4.

Ответ 4.

Рассмотрим теперь решение линейного уравнения или уравнения первой степени.

Задание 2. Найдите корень уравнения 1+8(3x+7)=9.

Решение. Раскроем скобки 1+24x+56 =9 или 24x+57 =9 Перенесём 57 в правую часть изменив знак 24x = 9 – 57, 24x = – 48. Делим обе части уравнения на 24 и получаем x = –2.

Ответ –2.

Задания для самостоятельного решения.

Лампочка и собирающая линза

В публикуемой серии задач из открытого банка ФИПИ с физическим содержанием (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ) необходимо уметь анализировать дробные выражения, производить действия с дробями, находить корни дробных уравнений.

Задание №41847  Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=60 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 100 до 120 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 120 до 140 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение (1). Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

Определить температуру звёзд

В публикуемой серии задач из открытого банка ФИПИ с физическим содержанием (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ) необходимо уметь выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде, находить корни четвёртой степени (в том числе методом подбора).

Задание №41793  Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому P=σST⁴, где P — мощность излучения звезды, σ=5,7⋅10⁻⁸ Вт/(м²⋅К⁴) — постоянная, S — площадь поверхности звезды, а T — температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна 1/8⋅10²⁰ м², а мощность её излучения равна 2,9184⋅10²⁷ Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.

Решение. Подставляем все имеющиеся данные в формулу

2,9184⋅10²⁷  = 5,7⋅10⁻⁸ ⋅1/8⋅10²⁰ ⋅ T⁴, разделив обе части уравнения на 5,7 получаем (с учётом того, что 10⁻⁸ ⋅10²⁰ = 10¹²)

0,512⋅10²⁷  = 1/8⋅10¹² ⋅ T⁴, умножив обе части уравнения на 8 получаем

4,096⋅10²⁷  = 10¹² ⋅ T⁴, делим обе части уравнения на 10¹²

T⁴ = 4,096⋅10¹⁵ или T⁴ = 4096⋅10¹² извлекая корень четвёртой степени получаем

T = 8⋅10³ = 8000.

Ответ 8000.

Новый аппарат для погружения

В публикуемой серии задач из открытого банка ФИПИ с физическим содержанием (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ) необходимо уметь выполнять действия с числами, находить корни третьей степени (в том числе методом подбора).

Задание №41693  На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: FA=ρgl³, где l — длина ребра куба в метрах, ρ=1000 кг/м³ — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g=9,8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 2817460,8 Н? Ответ выразите в метрах.

Решение. Подставляем все имеющиеся данные в формулу

2817460,8 = 1000*9,8*l³, разделив обе части уравнения на 9,8 и на 1000 получаем

l³ = 287,496 извлекая кубический корень получаем l = 6,6 м.

Ответ 6,6.

Вращаем ведёрко с водой

В приведённой ниже серии задач из открытого банка ФИПИ с интересным физическим содержанием (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ) необходимо уметь выполнять не сложные действия с числами, находить квадратные корни.

Задание №41343  Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, вычисляется по формуле (1), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g=10м/с²). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 211,6 см? Ответ выразите в м/с.

Решение. Вначале выразим длину верёвки в метрах 211,6 см = 2,116 м.  Для того, чтобы вода не выливалась достаточно нулевого давления на дно ведёрка. Подставим значения давления, длины верёвки и ускорения свободного падения в формулу (1) и получим

0 = m(v²/2,116 – 10), разделим обе части на массу воды, она не равна нулю по условию.

0 = v²/2,116 – 10, перенесём 10 в другую часть уравнения и умножим обе части на 2,116.

21,16 = v², извлечём квадратный корень и получим v = 4,6.

Ответ 4,6.

Задания для самостоятельной работы.

Решаем тригонометрические уравнения

В данном сообщении мы рассмотрим решение некоторых тригонометрических уравнений, которые могут быть на профильном экзамене, задание 13. Для решения необходимо знать определения тригонометрических функций, формулы для нахождения решений простейших уравнений sinx=a, cosx=a, tgx=a. Часто, для упрощения выражений, необходимо применять основное тригонометрическое тождество, формулы двойных углов, формулы приведения и другие.

Квадраты на катетах треугольника

Тренировочная работа №13. Задание 16.

На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты АСDE и BFKC. Точка М – середина гипотенузы АВ, Н – точка пересечения прямых СМ и DK.
а) Докажите, что CM перпендикулярна DK.
б) Найдите МН, если известно, что катеты треугольника АВС равны 30 и 40.

Решение.

а) Треугольники АВС и DСK равны, так как ÐDСK = ÐАСВ = 90°, DС=АС – стороны одного квадрата, КС=ВС – стороны другого квадрата.