Точки на сторонах треугольника

Прежде чем перейти к решению следующей задачи вспомним ещё несколько теорем планиметрии.

Теорема о четырех замечательных точках в трапеции.

В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Теорема Фалеса.

Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне.

Обратная теорема Фалеса.

Если на одной стороне угла от его вершины O отложены отрезки OA, AB, BC, ... и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA₁, A₁B₁, B₁C₁, ... (OA/OA₁= AB/AB₂= BC/BC₂=k), то прямые AA₁, BB₁, CC₁, - параллельны.

Тренировочная работа №10 задание 16.

Точки В₁ и С₁ лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В. Прямые ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ₁ОС₁ к площади треугольника ABC, если известно, что АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В = 1:4.