Каждой точке - характеристику функции и её производной

Производной на базовом ЕГЭ по математике отведено немного места, но всё же она присутствует. В данной статье рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике (базовый уровень).

Задание 1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки A, B, C и D на оси Ox. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

ТОЧКИ	ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНОЙ
А	1.      значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
В	2.      значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно
С	3.      значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно
D	4.      значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	B	C	D

Решение. Для выполнения этого задания необходимо вспомнить свойства производной функции. Если на некотором числовом промежутке производная функции положительна, то функция на этом числовом промежутке возрастает, если же производная отрицательна, то функция убывает. 

Из пункта A в пункт D ведут три дороги

Следующие задания не сложные. Надо внимательно читать условие, не менее внимательно рассматривать чертёж и производить вычисления. И очень внимательно изучать, что необходимо записать в ответе. Обидно, когда все вычисления сделаны правильно, а в ответ записано не то число, что требуется. Балл потерян.

Задание 1. Из пункта A в пункт D ведут три дороги. Одновременно из пункта A в пункт D выехали грузовик, автобус и легковой автомобиль. Грузовик едет через пункт B со средней скоростью 32 км/ч, автобус едет через пункт C со средней скоростью 44 км/ч. По третьей дороге — без промежуточных пунктов — едет легковой автомобиль со средней скоростью 48 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние (в км) между пунктами по дорогам.
Какое транспортное средство доберётся до D позже других? В ответе укажите, сколько часов оно будет находиться в пути.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все три ва­ри­ан­та.

Гру­зо­вик, иду­щий через пункт B, про­шел путь 35 + 53 = 88 км и по­тра­тил на до­ро­гу 88 : 32 = 2,75 часа.

Три окружности в одной трапеции

Тренировочная работа №3 задание 16.

Задача 1. Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD трапеции ABCD разбивает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в нее окружности.

Решение. а) Докажем, что трапеция ABCD равнобедренная. Так как обе окружности касаются обоих оснований, то их диаметры равны и равны высоте трапеции, а радиусы половине этой высоты.

Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений с выбором решений, принадлежащих заданному числовому промежутку.

Выплатить кредит за два года

Тренировочная работа №3, задача 17.

31 декабря 2014 года Евгений взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся часть долга (т.е. увеличивает долг на а%), Затем Евгений переводит в банк очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540 тыс. рублей, а во второй 649,6 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Евгению?

Решение: Итак, через год сумма долга станет равной

1 000 000*(1 + а/100) = 1 000 000*(1 + 0.01а).

После выплаты первого транша сумма долга станет равна

1 000 000*(1 + 0.01а) – 540 000.

Планируется взять в кредит в банке

Тренировочная работа №2, задача 17.

15 января планируется взять в кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования?

Решение

1) Пусть ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита составляет 15Х рублей (без процентов).

Стороны прямоугольника касаются окружности

Тренировочная работа №2 задание 16

Задача 1. Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причем точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что ∠DМР = ∠СВМ.

б) Известно, что CM=17 и CD=25. Найдите сторону AD.

Решение.

а) Пусть угол MQD равен a. Он равен углу CBM как накрестлежащий при параллельных прямых АD и ВС и секущей ВQ,  угол MQD является вписанным углом окружности, поэтому центральный угол, опирающийся на ту же дугу – угол MOP, равен 2a.  Треугольник MOP равнобедренный (ОМ и ОР – радиусы), поэтому ∠ОМР = (180 - 2a)/2 = 90 -a. Угол OMD – прямой, так как OM – радиус, а CD – касательная. Тогда ∠DMP = 90 – (90 - a) = a.

В каком отношении прямая делит сторону

Тренировочная работа №1 задание 16.

На отрезке BD‍ взята точка C.‍ Биссектриса BL‍ равнобедренного треугольника ABC‍ с основанием BC‍ является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD‍ с основанием BD.‍
а) Докажите, что треугольник DCL‍ равнобедренный.
б) Известно, что cos ∠ABC = ‍1/6.‍ В каком отношении прямая DL‍ делит сторону AB?‍

Решение. а) Пусть ∠ABL = ∠СBL =a. Тогда ∠AСB = ∠ABС = 2a (треугольник ABC равнобедренный с основанием BC),  ∠LDB = ∠LBС = a (треугольник LDB равнобедренный с основанием BD). В треугольнике DСL, внешний угол угол BСL равен 2a, а так как один из внутренних несмежных с ним ∠LDB = a, то и второй ∠DLС =a, и треугольник является равнобедренным.

б) В треугольнике ABC проведём высоту АН. В прямоугольном треугольнике ABН cos∠ABC = ‍1/6, значит ВН:АВ = 1/6, то есть АВ = АС = 6ВН. ВС =2ВН. По свойству биссектрисы отношение отрезков, на которые она делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих сторон: АL: LС = АВ:ВС = 6ВН:2ВН =3:1.

Значит LС = АС/4 = 0,25 АС.

Далее можно пойти несколькими путями.