Стороны прямоугольника касаются окружности

Тренировочная работа №2 задание 16

Задача 1. Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причем точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что ∠DМР = ∠СВМ.

б) Известно, что CM=17 и CD=25. Найдите сторону AD.

Решение.

а) Пусть угол MQD равен a. Он равен углу CBM как накрестлежащий при параллельных прямых АD и ВС и секущей ВQ,  угол MQD является вписанным углом окружности, поэтому центральный угол, опирающийся на ту же дугу – угол MOP, равен 2a.  Треугольник MOP равнобедренный (ОМ и ОР – радиусы), поэтому ∠ОМР = (180 - 2a)/2 = 90 -a. Угол OMD – прямой, так как OM – радиус, а CD – касательная. Тогда ∠DMP = 90 – (90 - a) = a.

б) Отрезок CM равен радиусу окружности, а МD = ОК (ОК перпендикулярен РQ) – расстояние от центра окружности до хорды РQ. Найдём длину хорды PQ. В прямоугольном треугольнике OPК, где ОР = СМ = 17, ОК = 8, по теореме Пифагора находим:

РК² = ОР² – ОК² = 17² – 8² = 289 – 64 = 225. РК = 15. РQ = 2РК = 30.

DР = DК – РК 17 – 15 = 2.

DQ = DР + РQ = 2 + 30 = 32.

Треугольники АВQ и МDQ подобны, значит соответствующие стороны пропорциональны

АВ/МD = АQ/ DQ или АВ/МD = (АD + DQ)/ DQ. После подстановки числовых значений получаем 25/8 = (АD + 32)/32, отсюда АD + 32 = 100. АD = 68. 

Ответ: 68

Задания для самостоятельного решения.

Задача 1. Сторона CD‍ прямоугольника ABCD‍ касается некоторой окружности в точке M.‍ Продолжение стороны AD‍ последовательно пересекает окружность в точках P‍ и Q,‍ прямая BC‍ касается окружности, а точка Q‍ лежит на прямой BM.‍
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.‍
б) Известно, что CM = 5‍ и CD = 8.‍ Найдите сторону AD.‍

Задача 2. Сторона  CD прямоугольника ABCD  касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в  точках P и Q, причем  точка P лежит между точками D и Q . Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.

б)  Известно, что CM =17 и CD =32. Найдите сторону AD.