Каждой точке - характеристику функции и её производной

Производной на базовом ЕГЭ по математике отведено немного места, но всё же она присутствует. В данной статье рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике (базовый уровень).

Задание 1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки A, B, C и D на оси Ox. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

ТОЧКИ	ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНОЙ
А	1.      значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
В	2.      значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно
С	3.      значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно
D	4.      значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	B	C	D

Решение. Для выполнения этого задания необходимо вспомнить свойства производной функции. Если на некотором числовом промежутке производная функции положительна, то функция на этом числовом промежутке возрастает, если же производная отрицательна, то функция убывает. 

В точке А значение функции отрицательно и функция на числовом промежутке, в который входит точка А, возрастает, значит производная положительна. Это соответствует характеристике 4.

В точке В значение функции положительно, а функция на числовом промежутке, в который входит точка В, убывает, значит производная отрицательна. Это соответствует характеристике 1.

В точке С значение функции отрицательно, а функция на числовом промежутке, в который входит точка С, убывает, значит производная отрицательна. Это соответствует характеристике 2.

В точке D значение функции положительно, и функция на числовом промежутке, в который входит точка D, возрастает, значит, производная положительна. Это соответствует характеристике 3.

Указываем в таблице под каждой буквой соответствующий номер характеристики.

A	B	C	D
4	1	2	3

Ответ 4123.

 

Задание 2. На рисунке изображён график функции y=f(x). Точки a, b, c, d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

ИНТЕРВАЛЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ А)    (a; b)  1. Значения функции положительны в каждой точке интервала Б)     (b; c) 2. Значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала В)     (c; d) 3. Значения производной функции положительны в каждой точке интервала Г)      (d; e) 4. Значения функции отрицательны в каждой точке интервала

В таблице ниже под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	B	C	D

Решение. На отрезке (a; b) функция убывает, значит, значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала, характеристика 2.

На отрезке (b; c) значения функции отрицательны
в каждой точке интервала, характеристика 4.

На отрезке (c; d) функция возрастает, значит, значения производной функции положительны в каждой точке интервала, характеристика 3.

На отрезке (d; е) значения функции положительны
в каждой точке интервала, характеристика 1.

Указываем в таблице под каждой буквой соответствующий номер.

A	B	C	D
2	4	3	1

Ответ 2431.

Задание 3. На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ТОЧКИ	ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
А	1)      – 1,5
В	2)      0,5
С	3)      2
D	4)      – 0,3

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	B	C	D

Решение. В точке А касательная резко возрастающая, значит угловой коэффициент её положителен и большой. Это соответствует значению производной 3.

В точке В касательная медленно убывает, значит угловой коэффициент её отрицателен и небольшой по модулю. Это соответствует значению производной 4.

В точке С касательная быстро убывает, значит угловой коэффициент её отрицателен и достаточно большой по модулю. Это соответствует значению производной 1.

В точке D касательная медленно возрастающая, значит угловой коэффициент её положителен и небольшой. Это соответствует значению производной 2.

Указываем в таблице под каждой буквой соответствующий номер.

A	B	C	D
3	4	1	2

Ответ 3412.

Задания для самостоятельной работы.

Задание 1. На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ТОЧКИ	ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
А	1)      23
В	2)      – 12
С	3)      – 113
D	4)      123

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	B	C	D

 

Задание 2. На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ТОЧКИ	ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
А	1)      – 0,7
В	2)      1,4
С	3)      – 1,8
D	4)      0,5

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	B	C	D