Три окружности в одной трапеции

Тренировочная работа №3 задание 16.

Задача 1. Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD трапеции ABCD разбивает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в нее окружности.

Решение. а) Докажем, что трапеция ABCD равнобедренная. Так как обе окружности касаются обоих оснований, то их диаметры равны и равны высоте трапеции, а радиусы половине этой высоты.

По условию ВМ=МС, AN=ND. Так как трапеция АВМN описана вокруг окружности, то суммы её противоположных сторон равны АВ+МN=ВМ+АN. Трапеция MCDN тоже описана вокруг окружности, у неё суммы противоположных сторон равны MC+DN =МN+CD. Получаем

 АВ+МN=ВМ+АN= MC+DN= МN+CD, то есть

АВ+МN= МN+CD, отсюда АВ=CD. Трапеция равнобедренная.

б) Так как ВС=10, то ВМ=МС=5.

ОК и OF – радиусы окружности, проведённые в точку касания, то они перпендикулярны соответственно касательным ВС и МN. Значит ОКМF – квадрат. КМ=ОК=3.

ВК =ВМ-КМ=5-3=2.

Теперь заметим, что треугольник АОВ – прямоугольный ( АО и ВО – биссектрисы углов трапеции, значит сумма углов ВАО и АВО равна 90 градусам. Угол АОВ равен 90 градусам).

Задания для самостоятельного решения.

Задача 1. Отрезок, соединяющий середины M‍ и N‍ оснований соответственно BC‍ и AD‍ трапеции ABCD,‍ разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD‍ равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 2, а меньшее основание BC‍ исходной трапеции равно 6. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB,‍ основания AN‍ трапеции ABMN‍ и вписанной в неё окружности.
Решение можно посмотреть здесь http://reshimvse.com/zadacha.php?id=4474.

Задача 2. Отрезок, соединяющий середины M и N оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, разбивает ее на 2 трапеции, в каждую из которых можно вписать

окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная;
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN и вписанной в нее окружности.

Решение можно посмотреть здесь  http://repetitorege.com/t16-16-3.php