В каком отношении прямая делит сторону

Тренировочная работа №1 задание 16.

На отрезке BD‍ взята точка C.‍ Биссектриса BL‍ равнобедренного треугольника ABC‍ с основанием BC‍ является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD‍ с основанием BD.‍
а) Докажите, что треугольник DCL‍ равнобедренный.
б) Известно, что cos ∠ABC = ‍1/6.‍ В каком отношении прямая DL‍ делит сторону AB?‍

Решение. а) Пусть ∠ABL = ∠СBL =a. Тогда ∠AСB = ∠ABС = 2a (треугольник ABC равнобедренный с основанием BC),  ∠LDB = ∠LBС = a (треугольник LDB равнобедренный с основанием BD). В треугольнике DСL, внешний угол угол BСL равен 2a, а так как один из внутренних несмежных с ним ∠LDB = a, то и второй ∠DLС =a, и треугольник является равнобедренным.

б) В треугольнике ABC проведём высоту АН. В прямоугольном треугольнике ABН cos∠ABC = ‍1/6, значит ВН:АВ = 1/6, то есть АВ = АС = 6ВН. ВС =2ВН. По свойству биссектрисы отношение отрезков, на которые она делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих сторон: АL: LС = АВ:ВС = 6ВН:2ВН =3:1.

Значит LС = АС/4 = 0,25 АС.

Далее можно пойти несколькими путями.

1 способ. Треугольники ВМD и ВLС подобны по двум углам (∠AСB = ∠ABС и ∠LDB = ∠LBС), запишем для них отношение соответствующих сторон: ВМ:LС = ВD:ВС. Так как треугольник DCL‍ является равнобедренным, то ВD = LС + ВС и  ВМ:LС = (LС+ВС):ВС. Выразим отсюда ВМ. ВМ= (LС+ВС)* LС:ВС или ВМ= LС²:ВС+ LС.

Поскольку ВС = АВ:3, то получаем ВМ= 3LС²:АВ+ LС. Разделим это равенство на АВ

ВМ:АВ= 3LС²:АВ²+ LС:АВ = 3/4²+1/4 = 7/16.

Тогда АМ/АВ = 9/16 и АМ/МВ = 9/7.

2 способ. В треугольнике АМL угол АМL – внешний к треугольнику ВМD и ∠АМL = ∠МВD + ∠МDB = 2a + a =3a.

По теореме синусов в треугольнике АМL: АМ/sina = АL/sin3a или

АМ = АL sina/sin3a = АL sina/sin(a +2a) =

АL sina/(sina*cos2a + cosa* sin2a) =

АL sina/(sina*cos2a + cosa* 2sina*cosa) =

АL sina/(sina(cos2a + 2cos²a) = (после сокращения синусов и применения формулы 2cos²a = 1 + cos2a, получаем) = АL/(cos2a + 1 + cos2a) = АL/(1 + 2cos2a). Но cos2a =1/6 и АL=3АВ/4. Получаем

АМ = АL/(1 + 2/6) = 3АL/4 = 9АВ/16.

Соответственно ВМ = ВА- 9АВ/16 = 7АВ/16. В итоге

АМ/ВМ = 9/7.

Ответ 9/7.