Нестандартное квадратное уравнение

 Приведем два способа решения одной олимпиадной задачи 2021 года (школьный уровень).

Задача. Найдите все решения уравнения

Первое решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно x.

Неравенства между которыми одно целое число

 Замените все символы "*" целыми числами так, чтобы только одно целое число удовлетворяло одновременно обоим неравенствам:  x^2 + *x + * > 0 и x^2 + *x + * < 0

Рассмотрим уравнения (x -1 )(x - 3) > 0 и (x -2)(x - 5) < 0

При решения первого уравнения получаем: x < 1, x > 3

При решении второго уравнения получаем: 2 < x < 5

Между данными уравнениями только одно целое число - 4, значит данное неравенство удовлетворяет требованию задачи

Приведем еще несколько примеров таких неравенств:

(x - 2)(x - 5) > 0, x < 2 x > 5 

(x - 3 )(x - 7) < 0,  3 < x < 7

Здесь тоже только одно целое число - 6

(x - 3)(x - 7) > 0, x < 3 x > 7

(x - 4)(x - 9) < 0,  4 < x < 9

Целое число - 8 

(x - 4)(x - 7) > 0, x < 4 x> 7

(x - 5)(x - 11) < 0,  5 < x < 9

Целое число - 10 

(x - 5)(x - 11) > 0, x<5 x> 11

(x - 6)(x - 13) < 0 , 6 < x < 13

Целое число - 12

(x - 6)(x - 13) > 0, x < 6 x > 13

(x - 7 )(x - 15) < 0, 7 < x < 15

Целое число - 14

И так далее до бесконечности 

Катет в прямоугольном треугольнике

 

По данным, изображенным на рисунке справа, найти длину катета BC прямоугольного треугольника ABC. 

Дано: треугольник ABC - прямоугольный

угол CAB = 60 градусов

угол ACB = 90 градусов

AM = MB 

NM = 4

Найти катет BC - ?

Единицы на доске

На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.

а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?

б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?

в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел  равна 150?

 

Решение:

Как увеличить свою долю

 

Борис и Иван вложили деньги в общий бизнес. После этого один из них добавил еще 1 млн рублей, в результате чего его доля в бизнесе увеличилась на 0,05, а когда он добавил еще 1 миллион рублей, его доля увеличилась еще на 0,04. Сколько миллионов рублей ему нужно добавить, чтобы увеличить свою долю еще на 0,06?

Решение: