Единицы на доске

На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.

а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?

б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?

в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел  равна 150?

 

Решение:

а) Да. Можно взять число 111, тогда остается еще 57 единиц, даже если взять 57 раз по 1, то сумма будет равна 168. Значит нужно брать число 11, остальные по 1 и постепенно увеличивать количество чисел 11 в записи, получаем такие суммы:

1.      11 + 58 = 69

2.      11 + 11 + 56 = 78

3.      11 + 11 + 11 + 54 = 87

4.      11+ 11 + 11+ 11 + 52 = 96

Можно заметить, что при увеличении количества числа 11 в записи, количество единиц в записи уменьшается на 2, то есть вся сумма числа увеличивается на 9, 11 – 2 = 9.

Получаем суммы равные: 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141, 150

Для получения суммы равной 150 нужно, взять число 11 10 раз, и остальные 40 чисел по 1.

Приведем другой пример решения:

Возьмем число 111, остается 57 единиц, если взять 57 раз по 1, сумма будет 168. значит возьмем число 11 и несколько единиц, получим такую сумму:

11 + 1 + 1 + 1 + 1 = 15; сумма единиц равна 15, количество единиц 6. Чтобы получить сумму равную 150, нужно взять 150/15 = 10 таких пар, количество единиц при этом будет равно 10*6 = 60. Чтобы получить сумму равную 150, нужно взять 10 пар с суммой 11 + 1 + 1 + 1 + 1 = 15.

б) Нет. Также как и в случае с n = 60, если взять число 111 сумма чисел будет больше 150. Значит будем брать по 11, остальные по 1 и постепенно увеличивать количество чисел 11 в записи. Как и в случае с n = 60, сумма будет увеличиваться на 9. Но так как количество единиц в записи больше, суммы будут другие и будут равны: 89, 98, 107, 116, 125, 134, 143, 152.

143<150<152.

в) Вернемся к n = 60 и вспомним, что при увеличении количества числа 11 в записи суммы, сумма увеличивается на 9. Запишем любое число при записи которого используются числа 11 и 1 и их сумма равна 150:

11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 150.

В записи этого числа используется 33 единицы, если мы уменьшим количество чисел 11 в записи, то получим:

11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 150.

В записи этого числа мы получаем 42 единицы

При увеличении количества чисел 11 в записи, мы уменьшаем количество чисел 1 в записи суммы на 9 и наоборот, если уменьшать количество чисел 11 в записи суммы, то количество 1 увеличивается на 9. Так как мы можем взять количество чисел 11 от 0 до 13. Мы получаем следующее количество единиц в записи суммы:

150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33.

Но при записи мы также можем использовать число 111, но только один раз, значит будем использовать числа 11 и 1

При использовании числа 111 получаем следующие суммы:

111 + 11 + 11 + 11 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 150 (6 раз по 1)

111 + 11 + 11 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 150 (17 раз по 1)

111+ 11 + 11 +  1 + 1 + 1 ……. + 1 = 150 (28 раз по 1)

111 + 1 + 1 + 1 ……+ 1 = 150 (39 раз по 1)

Количество единиц в этих суммах: 15, 24, 33. 42.

При совмещении мы получаем прогрессию:

150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15.