Катет в прямоугольном треугольнике

 

По данным, изображенным на рисунке справа, найти длину катета BC прямоугольного треугольника ABC. 

Дано: треугольник ABC - прямоугольный

угол CAB = 60 градусов

угол ACB = 90 градусов

AM = MB 

NM = 4

Найти катет BC - ?

Первый способ решения:

Рассмотрим треугольник ABC

угол ABC = 30 градусов, ABC = 180 - (CAB + ACB)

ABC = 180 - (90 + 60)

ABC = 180 - 150 

ABC = 30.

AC = 0,5AB, свойство угла в 30 градусов

Рассмотрим треугольник MNB

BN = 2MN, свойство угла в 30 градусов

BN = 8

Проведем медиану CM

CM = 0,5AB, свойство медианы проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим треугольник AMC

AM = CM,

Треугольник AMC - равнобедренный 

угол ACM = 60 градусов, углы при основании равны

угол AMC = 60 градусов, 180 - 120

Рассмотрим треугольник CMB

CM = BM, 

Треугольник CMB - равнобедренный 

угол MCB = 30 градусов, углы при основании равны

угол CMB = 180 - (30 + 30)

CMB = 120 градусов

угол CMN = 120 - 90 

CMN = 30 градусов

Треугольник CMN - равнобедренный, так как углы при основании равны

MCN = NMC = 30 градусов

MN = CN = 4

CB = CN + NB = 4 + 8

CB = 12 

Ответ: CB = 12

Второй способ решения:

угол ABC = 180 - (CAB + ACB)

ABC = 180 - (60 + 90)

ABC = 30

Рассмотрим треугольник MNB 

BN = 2MN

BN = 8

Отрезок MN является серединным перпендикуляром к отрезку AB 

Соединим точки A и N  

AN = NB = 8, свойство серединного перпендикуляра

Треугольник ANB - равнобедренный, т.к 

AN = NB

угол NAB = 30 градусов, углы при основании равны

Рассмотрим треугольник ACN

угол CAN = 30 градусов

CN = 4, катет лежащий против угла в 30 градусов

CB = CN + NB 

CB = 4 + 8

CB = 12 

Ответ: CB = 12