Числа, клетки и кандидаты

Ну, решил?

 Рассмотрим решение четырех задач, предлагавшихся на муниципальном этапе Всероссийской олимпиады школьников в 2011 году в 10 классе.

Задача 1. Два натуральных числа в сумме составляют 2019, причем второе число получается из первого вычеркиванием последней цифры. Найдите все такие числа. (Задание изменено, ранее стояло число 2011)

Решение. Обозначим второе число за х, тогда первое равно 10х+у, где у – некоторая цифра. Из условия получаем 10х+у+х=2019 или 11х+у =2019. Тогда 11х =2019-у. Значит число 11х находится между числами 2010 и 2019, а это возможно только при х=183. Следовательно у=6. 1836 + 183=2019.

Ответ 1836 и 183.

Критерии оценивания задания. За полное решение – 7 баллов. Ответ без доказательства единственности – 3 балла.

Площади шестиугольника и треугольника

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.
В. Произволов

Рассмотрим еще одну интересную олимпиадную планиметрическую задачу о треугольнике и порожденном им шестиугольнике, площадь которого в два раза меньше. Переживем еще одно приключение мысли.

Задача 1. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Найдите отношение площади ограниченного ими шестиугольника к площади треугольника.

Треугольник с углом 60 градусов

Рассмотрим олимпиадную задачу для учащихся 10 класса, но уровень ее соответствует и заданию по планиметрии №16 на ЕГЭ. Решить задачу помогает подобие прямоуголных треугольников, которое не совсем просто увидеть.

Задача. В треугольнике АВС расстояние от центра описанной окружности до стороны АВ равно а, а угол АВС равен 60 градусам. Точка К на стороне ВС такова, что ВК =АВ/2. Найдите длину отрезка СК.

Решение. Пусть точка Н – середина ВА, тогда ВН=АН=ВК по условию.

Составные числа

 Рассмотрим несколько олимпиадных задач о простых и составных числах и способы их решения. Напомним, что натуральное число является простым, если делится без остатка только на 1 и на себя. Все остальные натуральные числа - составные, их можно представить как произведение двух или более чисел, не равных 1.

Задача 1. Доказать, что число 1589²-1 является составным числом.
Решение. Доказательство здесь очень простое - применяем формулу разность квадратов

1589²-1=1589²-1²=(1589-1)(1589+1)=1588*1590

Задача 2. Доказать, что число 53*83*109+40*96*66 является составным числом.
Решение. Заметим, что 40=149-109, 96=149-53, 66=149-83. Тогда наше выражение принимает вид  53*83*109+(149-109)(149-53)(149-83) = 53*83*109+149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*83-109*53*83 = 149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*8, а это число делится на 149.
Задания для самостоятельной работы.

Опять помогает окружность

Рассмотрим еще одну задачу школьного этапа всероссийской олимпиады по математике. В ней, дополнительно построенная окружность упрощает доказательство.

Задача. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB = BC, ⦟CBD =

2⦟ADB и ⦟ABD = 2⦟BDC. Докажите, что AD = DC.

Решение: Построим четырехугольник ABCD, на продолжении отрезка DB за точку B отметим точку К, так чтобы BК=BC=BA.

Найдите сумму корней уравнения

Готовимся к муниципальному этапу Всероссийской олимпиады школьников.

Рассмотрим несколько олимпиадных заданий на нахождение суммы корней уравнения. В начале, необходимо вспомнить теорему Виета для квадратного трехчлена: «Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену».

Задача 1. Найдите сумму корней уравнения х⁸-2018х⁴+2017х²=0.

Решение: Очевидно, что x = 0 является корнем данного уравнения. Далее следует заметить, что если ненулевой x₀ является корнем уравнения, то и –x₀  также является корнем уравнения. Значит, все корни данного уравнения кроме нуля встречаются парами {x, -x}. Поэтому сумма корней равна нулю.

Задача 2. Найдите сумму корней уравнения (x²-4x+3)²-4(x²-4x+3)+3=x.

Прямая, проходящая через середину гипотенузы

Рассмотрим еще одну задачу из сборника "ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ". Под редакцией И.В. Ященко. Задача 16 из 28 варианта.
Задача.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.

а) Докажите, что угол ВАС равен 30 градусам.

б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 8√3.

Решение.