Треугольник с углом 60 градусов

Рассмотрим олимпиадную задачу для учащихся 10 класса, но уровень ее соответствует и заданию по планиметрии №16 на ЕГЭ. Решить задачу помогает подобие прямоуголных треугольников, которое не совсем просто увидеть.

Задача. В треугольнике АВС расстояние от центра описанной окружности до стороны АВ равно а, а угол АВС равен 60 градусам. Точка К на стороне ВС такова, что ВК =АВ/2. Найдите длину отрезка СК.

Решение. Пусть точка Н – середина ВА, тогда ВН=АН=ВК по условию.
Треугольник КВН – равносторонний (равнобедренный с углом равным 60 градусам). Значит треугольник АНК - равнобедренный с углом АНК равным 120 градусам. Значит углы НАК и НКА равны 30 градусам. Тогда треугольник АВК – прямоугольный (угол АКВ прямой), следовательно, треугольник АСК – тоже прямоугольный.

Заметим, что треугольник АОН тоже прямоугольный (радиус, проходящий через середину хорды перпендикулярен этой хорде).

Вписанный угол АВС равен 60 градусам, значит, дуга АС равна 120 градусам и центральный угол АОС равен тоже 120 градусам. Треугольник АОС равнобедренный, значит углы ОАС и ОСА равны 30 градусам. Обозначив радиус окружности R, по теореме косинусов найдем АС²= R²+ R²-2 R* R*(-0,5)=3R². АС= R√3.

Теперь заметим, что треугольники АОН и АСК подобны по первому признаку (прямоугольные и углы ОАН и КАС равны). Составляем пропорцию

ОН:СК=ОА:АС или а:СК= R/ R√3. Отсюда СК= а√3.