Опять помогает окружность

Рассмотрим еще одну задачу школьного этапа всероссийской олимпиады по математике. В ней, дополнительно построенная окружность упрощает доказательство.

Задача. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB = BC, ⦟CBD =

2⦟ADB и ⦟ABD = 2⦟BDC. Докажите, что AD = DC.

Решение: Построим четырехугольник ABCD, на продолжении отрезка DB за точку B отметим точку К, так чтобы BК=BC=BA.

Построим окружность с центром в точке B радиусом АВ, точки C, A и К лежат на этой окружности. Угол СКD равен половине центрального угла

CBD. Но тогда имеем равенство накрестлежащих углов при пересечении прямых КС и АD секущей КD, ⦟CКD=0,5⦟CBD=⦟BDA и прямые КС и АD - параллельны. Аналогично имеем равенство накрестлежащих углов при пересечении прямых АК и СD секущей КD,

⦟AКD=0,5⦟ABD=⦟BDC и прямые АК и СD - параллельны. Следовательно, DCКA – параллелограмм и его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Пусть М – точка пересечения диагоналей параллелограмма. BМ – медиана равнобедренного треугольника ABC, а значит ⦟CМB – прямой. DМ – высота и медиана треугольника CDA, следовательно, он равнобедренный и AD=DC. Что и требовалось доказать.

PS. Анализируя получившийся чертеж, можно заметить, что DCКA – не просто параллелограмм, его диагонали делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны. Значит DCКA – ромб.

Опираясь на доказанное нами утверждение, легко решить следующую задачу:

Задача 2. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB = BC, ⦟CBD =2⦟ADB и ⦟ABD = 2⦟BDC. Биссектрисы углов CBD  и ABD пересекают стороны CD и AD соответственно в точках Р и Т. Докажите, что ТВРD - ромб.