Страницы блога

понедельник, 5 ноября 2018 г.

Опять помогает окружность


Рассмотрим еще одну задачу школьного этапа всероссийской олимпиады по математике. В ней, дополнительно построенная окружность упрощает доказательство.
Задача. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB = BC, CBD =
2ADB и ABD = 2BDC. Докажите, что AD = DC.
Решение: Построим четырехугольник ABCD, на продолжении отрезка DB за точку B отметим точку К, так чтобы BК=BC=BA.
Построим окружность с центром в точке B радиусом АВ, точки C, A и К лежат на этой окружности. Угол СКD равен половине центрального угла
CBD. Но тогда имеем равенство накрестлежащих углов при пересечении прямых КС и АD секущей КD, CКD=0,5CBD=BDA и прямые КС и АD - параллельны. Аналогично имеем равенство накрестлежащих углов при пересечении прямых АК и СD секущей КD,
AКD=0,5ABD=BDC и прямые АК и СD - параллельны. Следовательно, DCКA – параллелограмм и его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Пусть М – точка пересечения диагоналей параллелограмма. BМ – медиана равнобедренного треугольника ABC, а значит CМB – прямой. DМ – высота и медиана треугольника CDA, следовательно, он равнобедренный и AD=DC. Что и требовалось доказать.
PS. Анализируя получившийся чертеж, можно заметить, что DCКA – не просто параллелограмм, его диагонали делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны. Значит DCКA – ромб.
Опираясь на доказанное нами утверждение, легко решить следующую задачу:
Задача 2. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB = BC, CBD =2ADB и ABD = 2BDC. Биссектрисы углов CBD  и ABD пересекают стороны CD и AD соответственно в точках Р и Т. Докажите, что ТВРD - ромб.

Комментариев нет:

Отправить комментарий