Страницы блога

суббота, 3 ноября 2018 г.

Найдите сумму корней уравнения


Готовимся к муниципальному этапу Всероссийской олимпиады школьников.
Рассмотрим несколько олимпиадных заданий на нахождение суммы корней уравнения. В начале, необходимо вспомнить теорему Виета для квадратного трехчлена: «Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену».
Задача 1. Найдите сумму корней уравнения х8-2018х4+2017х2=0.
Решение: Очевидно, что x = 0 является корнем данного уравнения. Далее следует заметить, что если ненулевой x0 является корнем уравнения, то и –x0  также является корнем уравнения. Значит, все корни данного уравнения кроме нуля встречаются парами {x, -x}. Поэтому сумма корней равна нулю.
Задача 2. Найдите сумму корней уравнения (x2-4x+3)2-4(x2-4x+3)+3=x.

Решение: 1 способ. Можно решать это уравнение «в лоб», то есть раскрыть скобки и привести подобные члены. Получим уравнение 4 степени
х4 - 8х3+18х2- 9х =0, вынесем общий множитель х.
х(х3 - 8х2+18х- 9) =0, и первый корень найден х1=0. Далее надо решить уравнение
х3 - 8х2+18х- 9 =0. Возможные целые корни этого уравнения 1, -1, 3, -3. Подставляя эти числа в уравнение находим второй корень х2=3. Далее
3 - 8х2+18х- 9):(х-3)= х2-5х+3.
Сумма корней квадратного уравнения х2-5х+3 =0 по теореме Виета она равна 5. Сумма всех корней 8.
Ответ 8.
2 способ. Найдем корни квадратного трехчлена x2-4x+3 и разложим его на множители.
x2-4x+3=(х-1)(х-3). Тогда наше уравнение можно записать в виде
(х-1)2(х-3)2 - 4(х-1)(х-3) - (х-3)=0. Выносим общий множитель х-3
(х-3) ((х-1)2(х-3) - 4(х-1) – 1)=0 и, приравнивая нулю первый множитель, находим первый корень исходного уравнения, х1=3. Далее приравниваем нулю второй множитель
(х-1)2(х-3) - 4(х-1) – 1=0. Раскрываем скобки и приводим подобные члены
2-2х+1) (х-3) - 4х+4 – 1=0,
х3-2х2+х - 3х2+6х - 3 - 4х+3=0,
х3-5х2+3х =0, вынесем общий множитель х.
х(х2-5х+3) =0 и второй корень тоже найден х2=0. Остается найти сумму корней квадратного уравнения х2-5х+3 =0. По теореме Виета она равна 5. Сумма всех корней 8.
Ответ 8.


Задания для самостоятельной работы.
Задача 3. Найдите сумму корней уравнения
Подсказка. Можно решать, обозначив 2-8х+7=а.
 


Комментариев нет:

Отправить комментарий