Площади шестиугольника и треугольника

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.
В. Произволов

Рассмотрим еще одну интересную олимпиадную планиметрическую задачу о треугольнике и порожденном им шестиугольнике, площадь которого в два раза меньше. Переживем еще одно приключение мысли.

Задача 1. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Найдите отношение площади ограниченного ими шестиугольника к площади треугольника.

Решение.  Проведем в треугольнике АВС средние линии МК, МР, РК. Они разбили исходный треугольник на 4 равных треугольника АМР, ВМК, КРС и КМР. Обозначим площадь каждого S, тогда площадь треугольника АВС равна 4S.  Шестиугольник МТКОРD состоит из треугольника КМР, образованного средними линиями, и примыкающих к нему трех маленьких треугольников МТК, КОР, МРD,  сторонами каждого из которых являются средняя линия и отрезки двух перпендикуляров до  точки их пересечения.  Рассмотрим один из четырех треугольников площади S (например КРС), и проведем в нем высоты, то этот треугольник разобьется отрезками высот на три треугольника КОР, КОС и РОС. Заметим, что треугольник КОС равен треугольнику МРD по стороне и двум прилежащим к ней углам ( МР=КС – средняя линия, углы МРD и КСО равны, так как их стороны параллельны, аналогично равны углы DМР и ОКС). Аналогично треугольник РОС равен треугольнику МТК по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому сумма  площадей треугольников МТК, КОР и МРD равна площади треугольника РКС и равна S. Соответственно площадь шестиугольника МТКОРD равна  S + S = 2S. Отношение площади исходного остроугольного треугольника АВС равно 2S/4S = 0,5.

Ответ 0,5.