Как распределить трудовые ресурсы

Приведём очередной пример решения экономических задач из сборника «ЕГЭ 2016 Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий». Под редакцией И.В. Ященко.

Задание 1. Вариант 7, задание17. В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

В каждой из областей 50 рабочих, всего область обладает резервом в 500 человеко-часов.

Пусть во второй области добывают  х кг алюминия и у кг никеля, и тратят на это 500 человеко-часов:

х² + у² = 500.

У этого уравнения есть единственное решение в целых числах, соответствующее условию задачи: х=10, у=20, либо же наоборот, х=20, у=10.

Так как никеля необходимо больше, чем алюминия, для производства сплава, то примем как наилучшее первое решение, при этом, кстати, соблюдается требуемое соотношение между количествами алюминия и никеля: никеля вдвое больше. Осталось распределить рабочих первой области так, чтобы добытый ими алюминий и никель соотносились по количеству, как 1:2.

Пусть а рабочих добывают алюминий. Тогда его количество будет а*0,2*10=2а кг. Остальные 50-а рабочих будут добывать никель, и добудут (50-а)*0,1*10 = 50-а кг.

Составим нужное для производства сплава соотношение алюминия и никеля:

2а:(50-а)=1:2, отсюда

4а =50-а, 5а =50, а =10.

Эти 10 рабочих смогут обеспечить добычу 20 кг алюминия. Тогда остальные 40 рабочих обеспечат добычу никеля в количестве: 40 кг. В итоге в обеих областях можно добыть 60 кг никеля и 30 кг алюминия, всего выйдет 90 кг сплава.

Ответ: 90 кг.

Задания для самостоятельной работы.

Задание 1. Вариант19, задание17. В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Задание 2. Вариант40, задание17. В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Задание 3. Вариант43, задание17. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

За­да­ние 4. В двух об­ла­стях есть по 160 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 5 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,1 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x² че­ло­ве­ко-часов труда, а для до­бы­чи у кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся у² че­ло­ве­ко-часов труда.

Для нужд про­мыш­лен­но­сти можно ис­поль­зо­вать или алю­ми­ний, или ни­кель, причём 1 кг алю­ми­ния можно за­ме­нить 1 кг ни­ке­ля. Какую наи­боль­шую массу ме­тал­лов можно за сутки сум­мар­но до­быть в двух об­ла­стях?