Две окружности и касательная

Приведу свое решение задачи №16 из второго варианта сборника "Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень. (под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
Задача. Две окружности касаются внутренним образом в точке А, при этом меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке Т. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках М и К соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) ТА пересекает МК в точке N. Найдите AN, если радиус большей окружности равен 41, а BC = 80.

Решение.

а) Обозначим O — центр большей окружности, О1 - меньшей. Вспомним, что линия центров двух касающихся окружностей проходит через общую точку - точку касания, значит OA — диаметр меньшей окружности. Продолжим линию центров до второго пересечения большой окружности в точке Р.
Рассмотрим треугольники АМО и АВР. Они прямоугольные (опираются на диаметры меньшей и большей окружностей) и имеют общий угол ВАР. Значит эти треугольники подобны и углы ВРА и МОА равны. Но угол ВРА равен углу ВСА (вписанные и опираются на одну и ту же дугу), угол МОА равен углу МКА (вписанные и опираются на одну и ту же дугу). Следовательно угол ВСА равен углу МКА и прямые ВС и МК параллельны (равенство соответственных углов при пересечении с секущей АС).
б) Отпустим перпендикуляр OH на хорду BC. Так как радиус перпендикулярный хорде делит ее на два равных отрезка, то H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHС по теореме Пифагора находим, что ОН*ОН=ОС*ОС - НС*НС = 41*41 - 40*40 = 81, ОН=9.
О1Т - радиус, проведенный в точку касания, значит О1Т перпендикулярен ВС и О1Т и ОН параллельны (два перпендикуляра к одной прямой). Отсюда следует, что треугольники О1ТS и OHS подобны и их стороны пропорциональны О1Т:ОН = О1S:ОS. Отсюда
20,5:9=(20,5+ОS):ОS и ОS=9*41/23.
В треугольнике АТО1: cos AO1T = cosAOH = cos(90+HSO) = -sinHSO = - OH/OS = - 23/41.
По теореме косинусов АТ*АТ=O1T*O1T + AO1*AO1 - 2*AO1*O1T*cos AO1T = 1312=16*82.
Следовательно  АТ=4 корня из 82. Так как MN - средняя линия треугольника АВТ, то AN=2 корня из 82.