Трапеция с тремя равными отрезками

Ну вот и пришло время начинать очередную подготовку к ЕГЭ по математике. С

десятиклассниками решаем на дополнительных занятиях 16 задания по планиметрии из сборника под редакцией И.В. Ященко.

Задача. В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ АС разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и АВ.

а) Докажите, что луч DB — биссектриса угла ADС .

б) Найдите АВ, если известны длины диагонали трапеции: BD = 8 и AC = 5.

Решение.

а) Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то ВС=АС. Так как треугольник АСD равнобедренный с основанием АD, то АС= СD. Получаем ВС=АС=АD, следовательно, треугольник ВСD равнобедренный и угол СВD равен углу СDВ. Но углы СВD и ВDА – накрестлежащие при параллельных ВС и АD и секущей ВD, следовательно они равны. Значит  угол СDВ равен углу ВDА и  AC — биссектриса угла BAD.

б) Поскольку BС = АС = СD = 5, то можно провести окружность с центром в точке С радиусом 5. Точки A, D и C лежат на этой окружности. Продолжим боковую сторону СD за точку С до пересечения с построенной окружностью в точке К. Тогда КD — диаметр окружности, а треугольник КВD — прямоугольный (угол В вписанный и опирается на половину окружности). Так как BD = 8 и КD = 10, то по теореме Пифагора ВК=6.

Так как угол СDВ равен углу ВDА и они оба вписанные, то дуги АВ и ВК равны, а следовательно равны и хорды АВ и ВК. Значит АВ=6.

Ответ: 6.

С частью а справились быстро. А дальше пришлось повозиться. Не сразу пришли к этому простому решению части б. Даже теорему косинусов использовали.

В ходе решения возникло несколько вопросов.

1. Может ли трапеция ABCD быть прямоугольной или равнобедренной при других положениях точек A и D?
2. Заметим, что равнобедренные треугольники АВК и ВСD – подобны. В каком случае они равны?
3. Может ли треугольник  ВСD быть равнобедренным?