Страницы блога

понедельник, 15 октября 2018 г.

Задания 10 классу


1.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q  середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH параллелограмм.
б) Найдите AD, если BAD=67,5° и BC=3.
2.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q  середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH параллелограмм.
б) Найдите AD, если BAD=75° и BC=1.

3.                  Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.
а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O  центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD  диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=5, а BC=5 корней из 2.
4.                  К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN  равен стороне квадрата.
б) Прямая MN  пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?
5.                  К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN  равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:3?
6.                  К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:4?
7.                  Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN=4 и AM:MC=1:3.
8.                  Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L  точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL,
если радиус большей окружности равен 10, а
BC=16.
9.                  Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM=LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA=2:3, а радиус малой окружности равен квадратному корню из 23.
10.              Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK=3 и MK=12.

Комментариев нет:

Отправить комментарий