Когда биссектриса и медиана перпендикулярны

Рассмотрим еще одну геометрическую задачу высокого уровня сложности из контрольно-измерительных материалов ОГЭ по математике. В решении используются свойства

биссектрисы и медианы треугольника, теорема Пифагора и другие свойства прямоугольных треугольников. Приведено два способа решения с разными дополнительными построениями.

Задача. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.1 способ. Рассмотрим треугольники АВО и DВО. Углы АВО и DВО равны, так как ВЕ – биссектриса. Углы АОВ и DОВ прямые, так как ВЕ и АD перпендикулярны. ОВ – общая сторона. Значит треугольники АВО и DВО равны по второму признаку. Отсюда следует, что АВ= DВ= DС.

Тогда по свойству биссектрисы треугольника отрезок ЕС в два раза больше АЕ (так ВС в два раза больше АВ).

Проведем DМ параллельно ВЕ, тогда DМ – средняя линия треугольника ВСЕ, значит ЕМ=МС=АЕ.

Рассмотрим треугольники АОЕ и DОЕ. У них ОЕ – общая, АО= DО и углы АОЕ и DОЕ – прямые. Треугольники АОЕ и DОЕ равны по первому признаку, значит АЕ= DЕ.

В треугольнике АDМ: DЕ-  медиана и DЕ=АЕ=ЕМ, значит треугольник АDМ – прямоугольный, угол АDМ – прямой. АD=208, DМ=104, по Теореме Пифагора АМ²= АD²+ DМ²=208²+104²=104²*5. АМ=104√5. АС=(АМ/2)*3=156√5.

В треугольнике АDМ отрезок ОЕ является средней линией и ОЕ= DМ/2=52. Значит ВО=ВЕ-ОЕ=208-52=156.

В треугольнике АВО по теореме Пифагора АВ²=ВО²+АО²=156²+104²= 52²*13.

АВ= 52√13. Значит ВС=2*АВ= 104√13.

Ответ: АВ= 52√13, ВС=104√13, АС=156√5.

1 способ. Рассмотрим треугольники АВО и DВО. Углы АВО и DВО равны, так как ВЕ –

биссектриса. Углы АОВ и DОВ прямые, так как ВЕ и АD перпендикулярны. ОВ – общая сторона. Значит треугольники АВО и DВО равны по второму признаку. Отсюда следует АО=ОD=108 и  АВ= DВ= DС.

Проведем прямую СК параллельно АD до пересечения с продолжением АВ в точке К. Тогда АD – средняя линия треугольника КВС и АВ=АК. Но АО - средняя линия треугольника КВМ и КМ=208, DО- средняя линия треугольника МВС и МС=208. В треугольнике КВС точке Е – точка пересечения медиан, значит ЕМ=ВЕ/2=104, ВМ=ВЕ+ЕМ=208+104=312.

Так АD перпендикулярна ВМ, то и КС перпендикулярна ВМ. В прямоугольном треугольнике ВМС по теореме Пифагора ВС²=ВМ²+МС²=312²+208²= 104²*13. ВС=104√13, отсюда АВ=ВС/2= ВС=52√13.

Прямоугольные треугольники АОЕ и МЕС подобны, так как имеют равные острые углы АЕО и МЕС (вертикальные).Так как МС в два раза больше АО, то ЕС в два раза больше АЕ и ЕМ в два раза больше ОЕ. То есть ОЕ= ЕМ/2=52.

В треугольнике АОЕ по теореме Пифагора АЕ²= АО²+ ОЕ²=104²+52²=52²*5. АЕ=52√5. Но АС= 3АЕ=156√5.

Ответ: АВ= 52√13, ВС=104√13, АС=156√5.

Задачи для самостоятельного решения.

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 92. Найдите стороны треугольника ABC.

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 60. Найдите стороны треугольника ABC.

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 84. Найдите стороны треугольника ABC.

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 72. Найдите стороны треугольника ABC.