Через точку пересечения диагоналей

Рассмотрим решение геометрической задачи №25 из пробного экзамена в формате ОГЭ, проводившегося в 9 классе в декабре 2017 года. Задача на доказательство.

В доказательстве используется свойство диагоналей параллелограмма: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. А также свойства углов образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей.

Задача. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках Р и Т соответственно. Докажите, что отрезки AР и CТ равны.

Решение. Рассмотрим треугольники АРО и СТО. АО=СО по свойству диагоналей параллелограмма. Углы РОА и СОТ – вертикальные, значит равны. Углы РАО и ОСТ – накрестлежащие при параллельных АВ и CD, секущей АС, эти углы равны.

Треугольники АРО и СТО равны по второму признаку равенства треугольников. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, значит АР=СТ.

Что и требовалось доказать.

Задачи для самостоятельного решения.

1.      Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что АP=СQ.

2.      Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP=DT.

3.      Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что BK=DM.

4.      Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и G соответственно. Докажите, что CL=AG.