В прямоугольной трапеции

В этом сообщении рассмотрим решение более сложной геометрической задачи №26 из пробного экзамена в формате ОГЭ, проводившегося в 9 классе в декабре 2017 года.

Задача. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=20, BC=15.

Решение. Из точки Е проведем отрезок ЕН перпендикулярно CD. Длину отрезка ЕН и надо найти. Продолжим боковые стороны АВ и CD трапеции до пересечения в точке Р.

Рассмотрим треугольники ВРС и АРD. Они прямоугольные (по условию AB перпендикулярна основанию BC, а значит и АD) , имеют общий угол Р. Значит треугольники ВРСН и АРD подобны по первому признаку. Из пропорциональности сторон получаем

РD: РС= АD:ВС=20:15=4:3.

Пусть РD=4х, тогда РС=3х, CD=х.

Прямая АР касается окружности в точке Е, прямая РD – секущая. По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки

РЕ²= РD*РС=4х*3х=12х². РЕ=2хÖ3.

Далее рассмотрим треугольники ЕРН и АРD. Они прямоугольные и имеют общий угол Р. Значит треугольники ЕРН и АРD подобны по первому признаку.

Из пропорциональности сторон получаем

РD: РЕ= АD:ЕН, подставляя обозначения, получаем 4х:(2хÖ3)=20:ЕН, отсюда ЕН=10Ö3.

Ответ ЕН=10Ö3

 Задачи для самостоятельного решения.

1.      В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=20, BC=10.

2.      В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=12, BC=9.

3.      В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=6, BC=5.

4.      В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=9, BC=6.