Прямая, параллельная основаниям трапеции

Рассмотрим решение геометрической задачи №24 из пробного экзамена в формате ОГЭ,

проводившегося в 9 классе в декабре 2017 года. Разберем два способа решения этой задачи.

Задача 1. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и К соответственно. Найдите длину отрезка EК, если AD=36, BC=18, CК:DК=7:2.

Решение. Пусть СК=5х, тогда КD=2х, СD=9х.

1 способ. Проведем диагональ АС, она разбивает трапецию на два треугольника. Рассмотрим треугольники АСD и ОСК. Так как прямые АD и ЕК параллельны по условию, то соответственные углы САD и СОК равны. Угол АСD у этих треугольников общий. Значит треугольники АСD и ОСК подобны по первому признаку и соответствующие стороны у них пропорциональны.

АС:ОС= АD:ОК=СD:СК=9х:7х=9:7. Отсюда АD:ОК= 9:7 или 36:ОК= 9:7. Из пропорции находим ОК= 36:9*7=28.

Заметим, что АС:ОС= 9:7, тогда АС:АО= 9:2.

Далее рассмотрим треугольники АВС и АЕО. Так как прямые АD и ЕК параллельны по условию, то соответственные углы АВС и АЕО равны. Угол САВ у этих треугольников общий. Значит треугольники АВС и АЕО подобны по первому признаку и соответствующие стороны у них пропорциональны.

АВ:АЕ= ВС:ЕО=АС:АО=9:2. Отсюда ВС:ЕО= 9:2 или 18:ЕО= 9:2. Из пропорции находим ОК= 18:9*2=4. Значит ЕК=ЕО+ОК=4+28=32.

Ответ ЕК=32.

2 способ. Проведем отрезок ВР параллельный СD. Он разбивает трапецию на параллелограмм ВСDР и треугольник АВР. Так как ВСКО – тоже параллелограмм, то РD=ОК=ВС=18.

Тогда АР=36-18=18.

Заметим, что ВР:ВО= СD:СК=9:7.

Теперь рассмотрим треугольники АВР и ВОЕ. Так как прямые АD и ЕК параллельны по условию, то соответственные углы ВАР и ВЕО равны. Угол АВР у этих треугольников общий. Значит треугольники АВР и ВОЕ подобны по первому признаку и соответствующие стороны у них пропорциональны.

АР:ЕО= ВР:ВО= 9:7. Отсюда АР:ЕО= 9:7 или 18:ЕО= 9:7. Из пропорции находим ЕО= 18:9*7=14. Значит ЕК=ЕО+ОК=14+18=32.

Ответ ЕК=32.

Задачи для самостоятельного решения.

1.      Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=42, BC=14, CF:DF=4:3.

2.      Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=25, BC=15, CF:DF=3:2

3.      Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=33, BC=18, CF:DF=2:1.

4.      Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=50, BC=30, CF:DF=7:3.

5.      Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=48, BC=16, CF:DF=5:3.