Ценные бумаги Пенсионного фонда

 Рассмотрим несколько задач с экономическим содержанием из открытого банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1+r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Решение. Разберемся внимательно с условием задачи.

В конце первого года ценные бумаги стоят 1² тыс. руб,

В конце второго года ценные бумаги стоят 2² тыс. руб,

В конце третьего года ценные бумаги стоят 3² тыс. руб,

………………………….

В конце t -1 года ценные бумаги стоят (t -1)² тыс. руб,

В конце t  года ценные бумаги стоят t ² тыс. руб.

Теперь поймем, во сколько раз увеличивается стоимость ценных бумаг по сравнению с предыдущим годом:

t ²/(t -1)² =(t /(t -1))²=((t-1+1)/(t -1))²=(1+1/(t -1))²=1+2/(t -1)+1/(t -1)².

Продавать ценные бумаги  и класть деньги в банк имеет смысл в том случае, когда в банке прирост r  за год станет больше, чем 2/(t -1)+1/(t -1)².

По условию задачи продавать ценные бумаги  надо строго в конце 9 года, значит, за 9 год прирост стоимости ценных бумаг ещё больше банковского прироста,

а в 10–м году уже нет. Получаем в конце 9 года:

2/(9 -1)+1/(9 -1)²> r или 2/8+1/64> r, 17/64> r.

В конце 10 года:

2/(10 -1)+1/(10 -1)²< r или 2/9+1/81< r, 19/81< r.

В итоге получаем двойное неравенство

19/81< r <17/64.

Ответ: 19/81< r <17/64.

PS. Если привести к общему знаменателю дроби в ответе, получим

1216/5184< r <1377/5184, среди них есть r = 1296/5184=1/4=0,25. То есть, если каждый год вклад в банке будет увеличиваться на 25%.

Задача 2. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t ( t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?

Решение. Чем условие этой задачи отличается от предыдущей? Здесь r =0,1, а вот год, в конце которого надо продавать ценные бумаги не известен.

Воспользуемся выкладками из предыдущей задачи. Продавать ценные бумаги  и класть деньги в банк имеет смысл в том случае, когда в банке прирост r  за год станет больше, чем 2/(t -1)+1/(t -1)². В нашем случае 2/(t -1)+1/(t -1)²<0,1.

Сделав замену переменных у= t -1, получаем неравенство 2/у+1/у²<0,1 или, после умножения обеих частей неравенства на 10у², получаем у²–20у –10 >0.

Решаем неравенство методом интервалов, корни уравнения у²–20у –10 =0 у₁= 10 - Ö110 и у₂= 10 + Ö110. С учетом того, что у >0 получаем у >10 + Ö110.

Делаем обратную замену  t -1 >10 + Ö110 или t >11+Ö110.

Поскольку t >21, то на 22 год деньги уже выгоднее держать в банке. Таким образом, продавать ценные бумаги надо в конце 21 года.

Ответ: 21.

Задачи для самостоятельного решения.

1.      Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t ( t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1+r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

2.      Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t ( t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 25%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?