Удачное дополнительное построение

Рассмотрим серию геометрических задач из открытого банка ОГЭ ФИПИ. В решении используются свойства средней линии трапеции, свойства параллелограмма, равновеликие треугольники и равновеликие треугольник и трапеция. Но главное, что облегчает решение -
дополнительное построение.

Задача. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

Решение. Построим заданную трапецию, в ней средняя линия МР=10, диагонали BD=15 и АС=7. По свойству средней линии трапеции можно найти сумму оснований ВС+АD=2МР = 20.

На первый взгляд все сложно.

Задача легко решается дополнительным построением. Из точки D проведем прямую,

параллельную диагонали АС до пересечения с продолжением основания ВС в точке Е.

Заметим, что АСЕD – параллелограмм, у него противоположные стороны попарно параллельны, значит треугольник АСD равен треугольнику DЕС (по трем сторонам). Площадь треугольника ВСD равна площади треугольника АВС, так как у них одно основание ВС и высоты, проведенные к этому основанию равны (равны расстоянию между параллельными прямыми ВС и АD. Следовательно, площадь треугольника ВDЕ равна площади трапеции  АВСD.

В треугольнике ВDЕ по условию ВD=15, DЕ=7 по свойству противоположных сторон параллелограмма, ВЕ=ВС+СЕ=ВС+АD=2МР = 20.

Площадь треугольника ВDЕ можно найти по формуле Герона. Найдем его полупериметр р = (15+7+20)/2=21.

S² = 21(21-15)(21-7)(21-20)=21*6*14*1,

S=7*3*2=42

Ответ 42.

 Задачи для самостоятельного решения.

1.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 12, а средняя линия равна 10.

2.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 8 и 6, а средняя линия равна 5.

3.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 13, а средняя линия равна 7.

4.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 9, а средняя линия равна 5.

5.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 6, а средняя линия равна 4.

6.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 5 и 3, а средняя линия равна 2.

7.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 13 и 11, а средняя линия равна 10.

8.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 15, а средняя линия равна 4.

9.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

10.  Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 13 и 5, а средняя линия равна 6.

11.  Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 10, а средняя линия равна 5.

12.  Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 13, а средняя линия равна 2.

13.  Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 9, а средняя линия равна 6.

14.  Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 12 и 10, а средняя линия равна 5.