Две окружности в прямоугольной трапеции

 Рассмотрим решение ещё одной планиметрической задачи, связанной с окружностями, вписанными в прямоугольную трапецию.

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке М.

а) Докажите, что AМ:МD = sinD.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 2,5 и 0,5.

Решение. а) Продолжим боковые стороны АВ и СD до пересечения в точке К. Треугольник АКD – прямоугольный. Если окружность вписана в угол, то её центр лежит на биссектрисе этого угла. Значит точки О, О₁, К и М лежат на одной прямой, которая является биссектрисой угла АКD. По свойству биссектрисы треугольника AМ:МD = АК:КD = sinD

б) Проведём радиусы ОЕ и ОР в точки касания большой окружности с АВ и АD, а также радиус О₁R в точку касания малой окружности с АВ. Из точки О₁ опустим перпендикуляр О₁Н на радиус ОЕ. Поскольку О₁RЕН – прямоугольник, то ЕН = О₁R = 0,5. Значит ОН = ОЕ – ЕН = 2,5 – 0,5 = 2.

Так как точка касания окружностей лежит на линии центров, то ОО₁ = 2,5 + 0,5 = 3.

Из треугольника ОО₁Н по теореме Пифагора О₁Н² = О₁О² – ОН² = 9 – 4 = 5.