Медианы треугольника пересекаются в точке

Вспомним свойства медиан треугольника.

1.    Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади (равновеликих).

2.    Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3.    Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Тренировочная работа №15 задание 16.

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂ — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=4, BC=7, AC=8.

Решение.

а)  Так как точка A₂ середина отрезка АМ, то треугольники AC₁A₂ и C₁A₂М равновеликие. Аналогично равновелики треугольники МC₁В₂ и ВC₁В₂, ВА₁В₂ и МА₁В₂, МА₁С₂ и СА₁С₂, СВ₁С₂ и МВ₁С₂, АВ₁А₂ и МВ₁А₂. Получили, что шесть треугольников входящих в шестиугольник равновелики шести треугольникам не входящим в шестиугольник. То есть площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ равна половине площади треугольника АВС.

б) Зная стороны треугольника, мы можем найти длины его медиан.

(АА₁)² =(2АВ²+2АС² – ВС²)/4= (2*4²+2*8² – 7²)/4= 111/4 =27,75.

(ВВ₁)² =(2АВ²+2ВС² – АС²)/4= (2*4²+2*7² – 8²)/4= 66/4= 16,5.

(СС₁)² =(2СВ²+2АС² – АВ²)/4= (2*7²+2*8² – 4²)/4= 210/4= 52,5.

Так как A₂С₁ и В₂С₁ являются средними линиями треугольника ABM, то A₂С₁ = ВМ/2 = ВВ₁/3 и В₂С₁ = АМ/2 = АА₁/3.

Так как В₂А₁ и С₂А₁ являются средними линиями треугольника BСM, то В₂А₁ = СМ/2 = СС₁/3 и С₂А₁ = ВМ/2 = ВВ₁/3.

Так как С₂В₁ и А₂В₁ являются средними линиями треугольника AСM, то С₂В₁ = АМ/2 = АА₁/3 и А₂В₁ = СМ/2 = СС₁/3.

Найдём сумму квадратов всех сторон шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂.

(A₂С₁)²+(В₂С₁)²+(В₂А₁)²+(С₂А₁)²+(С₂В₁)²+(А₂В₁)² =

2* ((АА₁)²+ (ВВ₁)²+( СС₁)²)/9 = 2*(27,75+16,5+52,5)/9 =

2*96,75/9 = 21,5.

Ответ 21,5.

Задания для самостоятельной работы.

Задание 1. Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M.
Точки A₂, B₂ и C₂ — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.

За­да­ние 2. Ме­ди­а­ны АА₁ и ВВ₁ и CC₁ тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке М. Точки А₂, В₂ и С₂ — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и МС со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что АВ = 6, ВС = 11 и АС = 12.