Окружность и подобные треугольники

Подобные треугольники очень часто встречаются при решении геометрических задач повышенной трудности на ЕГЭ по математике. И появляются подобные треугольники на чертежах порой очень неожиданно и на различных участках чертежа. Увидеть их не всегда легко. Особенно в хитросплетениях прямых, многоугольников, окружностей, хорд, касательных, биссектрис, медиан, диагоналей и т.д. Но научиться распознавать подобные треугольники необходимо, этим мы и займёмся. Рассмотрим серию задач, в которых подобные треугольники играют ключевую роль.

Задача 1. Через вершины В и С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках К и М.

а) Доказать, что треугольники АВС и АМК подобны.

б) Найти МК и АМ, если АВ = 2, ВС = 4, СА = 5, АК = 1.

Решение. Рассмотрим треугольники АВС и АМК. Угол ВАС у них общий. По свойству вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180 градусам, поэтому сумма углов АСВ и ВКМ равна 180 градусам. Но сумма смежных углов ВКМ и АКМ тоже равна 180 градусам. Значит, угол АКМ равен углу АСВ. Треугольники АВС и АМК подобны по первому признаку. Значит, соответствующие стороны пропорциональны.

АМ:АВ=МК:ВС=АК:АС или

АМ:2=МК:4=1:5, отсюда АМ=0,4 и МК = 0,8.

Ответ АМ=0,4 и МК = 0,8.

Задача 2. В треугольнике АВС угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем АМ : МС = √3 : 4. Величина угла АВМ равна 60 градусов, ВМ = 8.

а) Найдите величину угла ВАС.

б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ.

Решение. а) Проведём РМ перпендикулярно АВ. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВРМ, у него угол ВМР равен 30 градусам, значит, катет ВР равен половине гипотенузы ВМ, ВР=4. По теореме Пифагора РМ² = ВМ² – ВР² = 64 -16 =48. РМ = 4√3.  Так как РМ и ВС перпендикулярны АВ, то они параллельны. По теореме Фалеса АР:РВ=АМ:МС или АР : 4= √3 : 4. Отсюда АР = √3.

Тангенс угла ВАС равен отношению противолежащего катета РМ к прилежащему АР, то есть tgВАС = 4. Угол ВАС равен arctg4.

б) Для того, чтобы найти расстояние между центрами О и О₁ окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ, рассмотрим треугольники АВС и ОВО₁. Угол ВСМ вписан в окружность с центром О₁ и равен половине дуги ВМ, центральный угол ВО₁О также равен половине дуги ВМ. То есть углы

ВСМ и ВО₁О равны. Аналогично угол ВАМ вписан в окружность с центром О и равен половине дуги ВМ, центральный угол ВОО₁ также равен половине дуги ВМ. То есть углы

ВАМ и ВОО₁ равны. Треугольники АВС и ОВО₁ подобны по первому признаку. Соответственно, угол ОВО₁ прямой.

Так как линия центров ОО₁ перпендикулярна общей хорде ВМ и делит её пополам, то ВК – высота треугольника ОВО₁ и ВК=4.

Рассмотрим цепочку подобных треугольников. Треугольники АРМ и АВС подобны, треугольники АВС и ОВО₁ подобны, Треугольники ОВО₁ и ОВК подобны. Значит треугольники АРМ и ОВК подобны. Отсюда РМ:ВК=АР:ОК или 4√3:4=√3:ОК, ОК=1.

По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике ВК²=ОК*КО₁, 4²=1*КО₁, КО₁ = 16. ОО₁ = ОК + КО₁ = 17.

Ответ 17.

Задача 3. Две окружности с центрами О и Q пересекаются друг с другом в точках А и В, пересекают биссектрису угла OAQ в точках С и D соответственно.
Отрезки OQ и AD пересекаются в точке Е, причем, площади треугольников ОАЕ и QAE равны соответственно 18 и 42.

а) Докажите, что треугольники AQO и BDС подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника OAQD.

Решение. а) Докажем, что треугольники AQO и BDС подобны. Угол BDС вписан в окружность с центром Q и равен половине дуги АВ, центральный угол ОQА также равен половине дуги АВ. То есть углы BDС и AQO равны.

Угол ВСА вписан в окружность с центром О и равен половине дуги АКВ, центральный угол АОК также равен половине дуги АКВ. То есть углы ВСА и АОК равны. Но угол ВСА смежен с углом BСD, а угол АОК смежен с углом АОQ, значит углы BСD и АОQ равны. Треугольники BСD и АОQ подобны по первому признаку.

б) Найдём площадь четырехугольника OAQD. Из того, что площади треугольников ОАЕ и QAE равны соответственно 18 и 42 и эти треугольники имеют общую высоту из вершины А, найдём отношение ОЕ и ЕQ. ОЕ: ЕQ = 18:42 = 3:7. По свойству биссектрисы треугольника АО: АQ= ОЕ: ЕQ = 3:7.

Треугольники ОЕА и DЕQ подобны (углы ОЕА и DЕQ – вертикальные, треугольник АDQ – равнобедренный, угол АDQ равен углу DАQ и равен углу DАО). Значит площади треугольников ОАЕ и ЕDQ относятся как ОА²: DQ²=  9:49. Или 18: S_QED = 9:49, S_QED = 98.

Треугольники ОDЕ и DЕQ имеют общую высоту из вершины D, отношение их площадей равно отношению сторон ОЕ и ЕQ, то есть 3:7. S_OED = 98:7*3=42.

Площадь четырехугольника OAQD равна сумме площадей четырёх треугольников 18+42+98+42=200.

Ответ 200.

Продолжение следует.