Окружность и подобные треугольники

Подобные треугольники очень часто встречаются при решении геометрических задач повышенной трудности на ЕГЭ по математике. И появляются подобные треугольники на чертежах порой очень неожиданно и на различных участках чертежа. Увидеть их не всегда легко. Особенно в хитросплетениях прямых, многоугольников, окружностей, хорд, касательных, биссектрис, медиан, диагоналей и т.д. Но научиться распознавать подобные треугольники необходимо, этим мы и займёмся. Рассмотрим серию задач, в которых подобные треугольники играют ключевую роль.

Задача 1. Через вершины В и С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках К и М.

а) Доказать, что треугольники АВС и АМК подобны.

б) Найти МК и АМ, если АВ = 2, ВС = 4, СА = 5, АК = 1.

Решение. Рассмотрим треугольники АВС и АМК. Угол ВАС у них общий. По свойству вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180 градусам, поэтому сумма углов АСВ и ВКМ равна 180 градусам. Но сумма смежных углов ВКМ и АКМ тоже равна 180 градусам. Значит, угол АКМ равен углу АСВ. Треугольники АВС и АМК подобны по первому признаку. Значит, соответствующие стороны пропорциональны.

АМ:АВ=МК:ВС=АК:АС или

АМ:2=МК:4=1:5, отсюда АМ=0,4 и МК = 0,8.

Ответ АМ=0,4 и МК = 0,8.

Две окружности в прямоугольной трапеции

 Рассмотрим решение ещё одной планиметрической задачи, связанной с окружностями, вписанными в прямоугольную трапецию.

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке М.

а) Докажите, что AМ:МD = sinD.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 2,5 и 0,5.

Решение. а) Продолжим боковые стороны АВ и СD до пересечения в точке К. Треугольник АКD – прямоугольный. Если окружность вписана в угол, то её центр лежит на биссектрисе этого угла. Значит точки О, О₁, К и М лежат на одной прямой, которая является биссектрисой угла АКD. По свойству биссектрисы треугольника AМ:МD = АК:КD = sinD

Медианы треугольника пересекаются в точке

Вспомним свойства медиан треугольника.

1.    Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади (равновеликих).

2.    Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3.    Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Тренировочная работа №15 задание 16.

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂ — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=4, BC=7, AC=8.

Решение.

Точки на сторонах треугольника

Прежде чем перейти к решению следующей задачи вспомним ещё несколько теорем планиметрии.

Теорема о четырех замечательных точках в трапеции.

В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Теорема Фалеса.

Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне.

Обратная теорема Фалеса.

Если на одной стороне угла от его вершины O отложены отрезки OA, AB, BC, ... и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA₁, A₁B₁, B₁C₁, ... (OA/OA₁= AB/AB₂= BC/BC₂=k), то прямые AA₁, BB₁, CC₁, - параллельны.

Тренировочная работа №10 задание 16.

Точки В₁ и С₁ лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В. Прямые ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ₁ОС₁ к площади треугольника ABC, если известно, что АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В = 1:4.