Углы между прямыми в кубе

Рассмотрим решения стереометрических задач из открытого банка заданий, расподоженного на сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Задачи на нахождение углов между скрещивающимися прямыми в кубе.

Перед тем, как мы приступим к решению первой задачи, вспомним определение угла между скрещивающимися прямыми.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

За­да­ние 1. Точка E — се­ре­ди­на ребра CC​₁ куба ABCDA​₁B₁C₁D₁. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AD.

Ре­ше­ние.

По условию, задача верна для любого куба. Для того чтобы в решении было меньше дробей, предположим, что ребро куба равно 2 единицам. Тогда CE=1 .

 Пря­мая AD па­рал­лель­на пря­мой BC, зна­чит, угол между пря­мы­ми BE и AD равен углу CBE.

 Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CBE с пря­мым углом С имеем:

tg ÐCBE = CE: CB =1:2 =0,5,

тогда ÐCBE = arctg0,5.

 Ответ: arctg0,5.

Перед решением второй задачи напомним теорему косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Задача 2. На ребре CC​₁ куба ABCDA​₁B₁C₁D₁ отмечена точка E так, что CE:EC​₁=1:2. Найдите угол между прямыми BE и AC​₁.

 Задания для самостоятельной работы.

1.      На ребре CC_​1 куба ABCDA​₁B₁C₁D₁ отмечена точка E так, что CE:EC_​1=3:1. Найдите угол между прямыми BE и AC​₁.

2.      На ребре CC​1  куба ABCDA​1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC​1=2:1. Найдите угол между прямыми BE и AC​1.

3.      На ребре CC​1  куба ABCDA​1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC​1=2:3. Найдите угол между прямыми BE и AC​1.

4.      На ребре CC​1  куба ABCDA​1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC​1=1:3. Найдите угол между прямыми BE и AC​1.

5.      На ребре CC​1 куба ABCDA​1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC​1=3:2. Найдите угол между прямыми BE и AC​1.

6.      Точка E — середина ребра BB​1  куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AE и CA​1.

7.      Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью A​1BE, если рёбра куба равны 2.

8.      Точка E — середина ребра DD​1 куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите угол между прямыми CE и AC​1.

9.      Точка E — середина ребра BB​₁ куба ABCDA​₁B₁C₁D₁​. Найдите площадь сечения куба плоскостью D​₁AE, если рёбра куба равны 4.

10.  Точка E — середина ребра AA​₁ куба ABCDA​₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми DE  и BD​₁.

11.  Точка E — середина ребра CC​₁ куба ABCDA​₁B₁C₁D₁​. Найдите угол между прямыми BE и B​₁D.

12.  Точка E — середина ребра AA​₁ куба ABCDA​₁B₁C₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью C​₁DE, если рёбра куба равны 2.

Точка E — середина ребра DD​₁ куба ABCDA​₁B₁C₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью B_​1CE, если рёбра куба равны 4.