Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Рассмотрим серию простых стереометрических задач, предлагаемых открытым банком ФИПИ, для подготовки к ЕГЭ. Эти задачи доступны для решения учащимся 10 классов, после прохождения темы прямоугольный параллелепипед.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что DD₁=2, C₁D₁=6, B₁C₁=3. Найдите длину диагонали AC₁.

Решение. По свойству прямоугольного параллелепипеда квадрат его диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты). В нашем случае AC₁²= АD²+ DС²+ D₁D² = 3²+6²+2² = 9+36+4=49. AC₁ = 7.

Ответ 7.

Вспомним, что в любом прямоугольном параллелепипеде можно только провести четыре диагонали, все они равны (в нашем случае AC₁= ВD₁= DВ₁= СА₁). И все диагонали пересекаются в одной точке.

Задания для самостоятельной работы.

1.      В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что BB₁=16, A₁B₁=2, A₁D₁=8. Найдите длину диагонали AC₁.

2.      В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=8, CD=8, AD=14. Найдите длину диагонали BD1.

3.      В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=4,  AB=2, AD=4. Найдите длину диагонали DB1.

4.      В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=11, AB=2, A1D1=10. Найдите длину диагонали BD1.

5.      В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AA1=10, AB=5, A1D1=10. Найдите длину диагонали DB1.

6.      В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=9,  AB=2, B1C1=6. Найдите длину диагонали BD1.

7.      В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AA1=2, CD=1, A1D1=2. Найдите длину диагонали BD1.

8.      В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=9, A1B1=12, A1D1=8. Найдите длину диагонали BD1.

9.      В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=4,  A1B1=1, BC=8. Найдите длину диагонали DB1.

10.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=2, A1B1=5, A1D1=14. Найдите длину диагонали CA1.

11.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=12, A1B1=6, AD=4. Найдите длину диагонали DB1.

12.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1=3, AB=6, BC=6. Найдите длину диагонали AC1.

13.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AA1=12, A1B1=12, B1C1=1. Найдите длину диагонали BD1.

14.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=4, A1B1=12, A1D1=3. Найдите длину диагонали DB1.

15.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1=7, CD=6, AD=6. Найдите длину диагонали CA1.

16.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1=4, AB=8, A1D1=8. Найдите длину диагонали DB1.

17.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=6, CD=17, AD=6. Найдите длину диагонали CA1.

18.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1=6, A1B1=12, A1D1=12. Найдите длину диагонали CA1.